領域
｜ｘ｜＋｜ｙ｜≦1、ｘ＾２＋ｙ＾２≦１
で表される領域は、正方形と円になる。
このように、連立式ではなくて、一つの式で
長方形や三角形を表すことが、できるでしょうか？
不等号すら使わずにできます。
4頂点が(-1,1),(-1,-1),(1,-1),(1,1)である正方形（辺が軸に平行）
→ |1-x|+|1+x|+|1-y|+|1+y|=4
4頂点が(0,1),(-1,0),(0,-1),(1,0)である正方形（頂点が軸上）
→ |1-x-y|+|1-x+y|+|1+x-y|+|1+x+y|=4
半径1の円
→ x^2+y^2+|x^2+y^2-1|=1
横の長さがa、縦の長さがbの長方形
→ |a-2x|+|a+2x|+|b-2y|+|b+2y|=2(a+b)
重心が原点で一つの頂点が(0,a)である正三角形
→ |a+x√3-y|+|a-x√3-y|+|a+2y|=3a
重心が原点で一つの頂点が(0,a)である正六角形
→ |a√3-2x|+|a√3+2x|+|a√3+x+y√3|+|a√3+x-y√3|+|a√3-x+y√3|+|a√3-x-y√3|=6a√3
3頂点が(a,b)(c,d)(e,f)である三角形
→ |(ad-bc+bx-dx+cy-ay)(ad-bc+be-de+cf-af)|+|(cf-de+dx-fx+ey-cy)(cf-de+da-fa+eb-cb)|+|(eb-fa+fx-bx+ay-ey)(eb-fa+fc-bc+ad-ed)|
=(ad+cf+eb-bc-de-fa)^2
※すべて内部を含む領域です。
らすかるさん、ありがとうございます。
驚きの結果ですね。値がうまく相殺されるのですね。
円や六角形、自由な三角形も、方程式で！
絶対値は、場合分けなど、不便の記号だとばかり思って
いましたが、便利な記号なんですね。、
3頂点が(a,b)(c,d)(e,f)である三角形
→ |(ad-bc+bx-dx+cy-ay)(ad-bc+be-de+cf-af)|+|(cf-de+dx-fx+ey-cy)(cf-de+da-fa+eb-cb)|+|(eb-fa+fx-bx+ay-ey)(eb-fa+fc-bc+ad-ed)|
=(ad+cf+eb-bc-de-fa)^2
について計算していたら
(ad-bc+be-de+cf-af)=(cf-de+da-fa+eb-cb)=(eb-fa+fc-bc+ad-ed)=(ad+cf+eb-bc-de-fa)
が成り立つようなんですが、従って求める式は
|(ad-bc+bx-dx+cy-ay)|+|(cf-de+dx-fx+ey-cy)|+|(eb-fa+fx-bx+ay-ey)|=|(ad+cf+eb-bc-de-fa)|
と表してはいけませんかね？
確かにそうですね。全く気づきませんでした。
|ad-bc+bx-dx+cy-ay|+|cf-de+dx-fx+ey-cy|+|eb-fa+fx-bx+ay-ey|=|ad+cf+eb-bc-de-fa|
で十分ということですね。
