😊出会いの泉😊

お手数をおかけしてしまって申し訳ないのですが、もし可能であるのならば、
「私の備忘録 > ２項係数の性質」 に次の[あ],[い]の式を追加していただけないでしょうか。
お時間が取れるときで構いません。
私が過去に計算したものですが、どのページにあったか忘れてしまうので……。

nCk を C[n,k] と書くことにします。

[あ]
C[M+N,M]
= Σ[k=0...M] C[n+k-1,k]*C[M+N-n-k,M-k]
= Σ[k=0...N] C[m+k-1,k]*C[M+N-m-k,N-k]
= Σ[k=0...m-1] C[n+k-1,k]*C[M+N-n-k,M-k] + Σ[k=0...n-1] C[m+k-1,k]*C[M+N-m-k,N-k]
= Σ[k=m...M] C[n+k-1,k]*C[M+N-n-k,M-k] + Σ[k=n...N] C[m+k-1,k]*C[M+N-m-k,N-k]
ただし、 1≦m≦M, 1≦n≦N

[い]
(a+b)^n/a = Σ[k=0...n] C[n,k]*(a+k)^(k-1)*(b-k)^(n-k)
ただし、 a≠0

[あ]の証明は 「数学感動秘話 > 確率」(mathbun1129) へのリンク、
[い]の証明は 「数学感動秘話 > まち針の木」(mathbun1420) へのリンク、
を貼ってもらうだけで十分です。
[あ]に関しては文字の置き換えをして式を整理していますが、「確率」のページで私が示した関係式と考え方は同じです。

(上記の M) イコール (「確率」ページの m+m'+1)
(上記の N) イコール (「確率」ページの n+n'+1)
(上記の m) イコール (「確率」ページの m+1)
(上記の n) イコール (「確率」ページの n+1)