交通整理 その３
前回までは、合成数では、計算上では正しいのですが、理屈では、右辺と左辺の倍数が等しくなりませんでした。
そこで、解決できました。
等比級数の和の公式より
N^s-1=(N-1){1+N+N^2+n^3+・・・・+N^(s-2)+N^(s-1)}------(1)
さて、s=4のとき、
N(N-1)(N-2)(N-3)=(N^4-N)-6(N^3-N)+11(N^2-N)-----(2)
=N(N^3-1)-6N(N^2-1)+11N(N-1)
であるから、(1)より、
=N(N^3-1)-6N(N^2-1)+11N(N-1)
=N{(N-1)(1+N+N^2)-6(N-1)(1+N)+11(N-1)}
=N(N-1){(1+N+N^2)-6(1+N)+11}
=N(N-1){(1+N+N^2-6-6N+11}
=N(N-1){(N^2-5N+6}
=N(N-1)(N-2)(N-3)
これより、(2)の右辺は左辺に等しい。
さて、s=6のとき、
N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)=(N^6-N)-15(N^5-N)+85(N^4-N)-225(N^3-N)+274(N^2-N)------(3)
であるから、(1)より、
=N(N^5-1)-15N(N^4-1)+85N(N^3-1)-225N(N^2-1)+274N(N-1)
=N(N-1){(1+N+N^2+N^3+N^4)-15(1+N+N^2+N^3)+85(1+N+N^2)-225(N+1)+274}
=N^4-14N^3+71N^2-154N+120
=N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)
これより、(3)の右辺は左辺に等しい。
さて、s=8のとき、
N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)(N-6)(N-7)=(N^8-N)-28(N^7-N)+322(N^6-N)-1960(N^5-N)+6769(N^4-N)-13132(N^3-N)+13068(N^2-N)------(4)
であるから、(1)より、
=N{(N^7-1)-28(N^6-1)+322(N^5-1)-1960(N^4-1)+6769(N^3-1)-13132(N^2-1)+13068(N-1)}
=N(N-1){(1+N+N^2+N^3+N^4+N^5+N^6)-28(1+N+N^2+N^3+N^4+N^5)+322(1+N+N^2+N^3+N^4)-1960(1+N+N^2+N^3)+6769(1+N+N^2)-13132(1+N)+13068}
=N^6-27N^5+295N^4-1665N^3+5104N^2-8028N+5040
=N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)(N-6)(N-7)
これより、(4)の右辺は左辺に等しい。
よってSが自然数のとき
N(N-1)(N-2)(N-3)・・・・{N-(S-1)}=(N^S-N)-a1{N^(S-1)-N}+a2{N^(S-2)-N}・・・・-a(s-2)(N^3-N)+a(s-1)(N^2-N)
は、sが合成数でも成り立つ。
つまり、なぜ理屈が間違うかというと、右辺は、sが合成数の場合(N^t-N){ただし、tはs以下のすべての自然数}の係数がsの倍数にならないというのが、前回の結論でした。
ただし、(N^t-N)がtの倍数としたら、成り立つようです。
(%i1) factor(4-6*3+11*2);
(%o1) 2^3=4X2
(%i2) factor(6-15*5+85*4-225*3+274*2);
%o2) 2^4 3^2=6^2x2^2
(%i3) factor(8-28*7+322*6-1960*5+6769*4-13132*3+13068*2);
(%o3) 2^7 3^3 5=8x2^4x3^3x5
編集済み
うんざりはちべえさん、おはようございます。
＞よってSが自然数のとき
N(N-1)(N-2)(N-3)・・・・{N-(S-1)}=(N^S-N)-a1{N^(S-1)-N}+a2{N^(S-2)-N}・・・・-a(s-2)(N^3-N)+a(s-1)(N^2-N)
は、sが合成数でも成り立つ。
これは前回自分で証明されましたよね。No.1340の投稿です。
「因みに、何次でも-abcdN+N-(a+b+c+d)N+(ab+bc+cd+ac+ad+bd)N-(abc+abd+acd+bcd)Nの部分はNの項になり、解と係数の関係と同じで±が交互になり、必ず ±(a - 1) (b - 1) (c - 1) (d - 1)…と因数分解でき、ａ＝１より、
N(N-1)(N-2)(N-3)・・・・{N-(S-1)}=(N^S-N)-a1{N^(S-1)-N}+a2{N^(S-2)-N}・・・・-a(s-2)(N^3-N)+a(s-1)(N^2-N)の形に出来るのですね。」（No.1342より）
このＳには合成数とか素数とか制限がないので、一般のＳで成り立つという事ですね。
＞つまり、なぜ理屈が間違うかというと、右辺は、sが合成数の場合(N^t-N){ただし、tはs以下のすべての自然数}の係数がsの倍数にならないというのが、前回の結論でした。
理屈は間違っていないと思います。一応、前回のものを挙げておきますね。
＞等式は成り立つので、左辺の倍数と右辺の倍数は等しいのです。
ところが、合成数のとき、左辺と右辺が一致しないという理屈がおかしいのです。
この右辺が×だけでつながった式ならおかしいですが、(N^4-N)-6(N^3-N)+11(N^2-N)は和と差でつながっているのでおかしくありません。確か、NHKの番組でも掛け算は簡単ですが足し算は難しいというような話をやっていましたよね。それと同じ事です。
＞ただし、(N^t-N)がtの倍数としたら、成り立つようです。
(%i1) factor(4-6*3+11*2);
(%o1) 2^3=4X2
(%i2) factor(6-15*5+85*4-225*3+274*2);
%o2) 2^4 3^2=6^2x2^2
(%i3) factor(8-28*7+322*6-1960*5+6769*4-13132*3+13068*2);
(%o3) 2^7 3^3 5=8x2^4x3^3x5
これは、DD++さんが発見した、N^561-Nは５６１の倍数という合成数561でやってみて下さい。多分、ダメですよ。（多分の所は証明してありますが、今回は省略します。）
壊れた扉様、こんにちは。
s=561ですか？
N(N-1)(N-2)(N-3)・・・(N-560)=(N^561-N)-a1(N^560-N)+a2(N^559-N)・・・・a561(N^2-N)
とてもそんな計算は無理です。
ええ、私も以前はあきらめていましたが、DD++さんは凄いですよね。
https://www.wolframalpha.com/input?i=Table%5B%28N%5E561-N%29mod561%2C%7BN%2C2%2C30%7D%5D&lang=ja
pythonとかと違って桁違いの計算力なんですね。因みに、今回のに使えるかどうかは全く考えていません。
DD++様の計算は、
N=2〜30において(N^561ーN) mod 561を求めるものです。
うんざりはちべえさん、こんにちは。
よく見ると、以前とは違う法則ですね。
＞つまり、なぜ理屈が間違うかというと、右辺は、sが合成数の場合(N^t-N){ただし、tはs以下のすべての自然数}の係数がsの倍数にならないというのが、前回の結論でした。
ただし、(N^t-N)がtの倍数としたら、成り立つようです。
(%i1) factor(4-6*3+11*2);
(%o1) 2^3=4X2
(%i2) factor(6-15*5+85*4-225*3+274*2);
%o2) 2^4 3^2=6^2x2^2
(%i3) factor(8-28*7+322*6-1960*5+6769*4-13132*3+13068*2);
(%o3) 2^7 3^3 5=8x2^4x3^3x5
s=4のとき、
N(N-1)(N-2)(N-3)=(N^4-N)-6(N^3-N)+11(N^2-N)-----(2)
=N(N^3-1)-6N(N^2-1)+11N(N-1)
s=6のとき、
N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)=(N^6-N)-15(N^5-N)+85(N^4-N)-225(N^3-N)+274(N^2-N)------(3)
であるから、(1)より、
=N(N^5-1)-15N(N^4-1)+85N(N^3-1)-225N(N^2-1)+274N(N-1)
s=8のとき、
N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)(N-6)(N-7)=(N^8-N)-28(N^7-N)+322(N^6-N)-1960(N^5-N)+6769(N^4-N)-13132(N^3-N)+13068(N^2-N)------(4)
であるから、(1)より、
=N{(N^7-1)-28(N^6-1)+322(N^5-1)-1960(N^4-1)+6769(N^3-1)-13132(N^2-1)+13068(N-1)}
以前と違って、係数に指数をかけて総和を取っているのですね。
