結合法則を満たすとは
結合法則とは
ある演算∘に対し
(a∘b)∘c=a∘(b∘c)
がいつも成り立つことを指す。
そこで今集合Mの演算を
Mの二つの元に対しMの元一つを対応させる規則
f:M×M→Mへの写像
f(a,b)=a∘b (∀(a,b)∈M×M, ∃a∘b∈M )
で定義することにする。
さてこの時
(1)Mの元が2個である時
M×Mの元は2^2=4個でM×MよりMへの写像はM×Mの各元に対し
2通りある行き先を指定するので、全部で2^(2^2)=16(通り）の写像が
考えられる。
ではこの中で結合法則を満たす写像は何通りあるか？
(2)Mの元が3個である時
全部で3^(3^2)=19683(通り)の写像の中で
結合法則を満たす写像は何通りあるか？
(3)Mの元が4個である時
全部で4^(4^2)=4294967296(通り)の写像の中で
結合法則を満たす写像は何通りあるか？
(1)は、８通りとなりました。
ある本を読んでいるとき、この写像と結合法則の組合せについての記述を読んで
実際どんな写像（演算)が条件を満たすのかを知りたくなり、Mの要素が2つの場合に
全部(16通り)を全てチェックしたら、管理人さんと同様に8通りであることを実験から
見つけられました。
でもこれを前もってわかることはどうしても見つけられなく、次のMの要素が3個の場合は
全部で19683通りもあるので、何とかコンピュータを利用してカウントしない限り分からない
と感じそのプログラムをどう設計すれば可能なのかと、あれこれ試行錯誤を繰り返して組み上げて
いきました。（何日も組み方が分からず悪戦苦闘の連続でした。）
やっとこれで求まるのではないかと思われるプログラムで計算した結果が113通りでした。
Mの要素が4なら3492通りになりました。(結果が出るまで随分時間がかかりました。）
Mの要素が2の場合に較べ、その比率が極端に小さくなったのでこの結果は自信がありませんでした。
この僅かの8,113,3492を例のOEISで検索すると
A023814がヒットしました。
でもこのサイトでの説明文では何も結合法則なる記述はなく、数は一致するもこれが求める数を
示すものかいまいち自信がありません。
何方かこの数を示す正しい数値を見つけて貰いたいのですが･･･
もしこの数値が正しいなら結合法則が成り立つとはとても珍しい現象であると認識しないと
いけないものだと思える。
GAIさん
>この僅かの8,113,3492を例のOEISで検索すると
>A023814がヒットしました。
>でもこのサイトでの説明文では何も結合法則なる記述はなく、数は一致するもこれが求める数を
>示すものかいまいち自信がありません。
英語の意味を検索すると、
associative : 〔演算などが〕結合的な、結合律［法則］を満たす
binary operation : 二項演算
らしいので、
" Number of associative binary operations on an n-set "
は
「要素数nの集合における結合法則を満たす二項演算の数」
となってGAIさんが知りたいものそのものではないでしょうか？
