😊出会いの泉😊

(2)は
正15角形のどの3頂点を選んでも、その3点で作られる三角形のすべての内角は整数度になるから
15C3=455通り
となるような気がしますが、
もし私の勘違いでしたらご指摘下さい。

（２）（３）を計算してみました。３点の選び方が問題なので、合同や裏返しで重なる三角形も異なると見なしてよい。

（２）　正１５角形の１辺に対する円周角は、１２°で、これらを組み合わせて三角形を作ることになる。
よって、１５個の頂点から３つの頂点を選ぶ場合の数は、15Ｃ3＝４５５（通り）。
＃当初、考え違いをしていることに気づき、修正しました。

（３）　正１６角形の１辺に対する円周角は、１１．２５°で、これらを組み合わせて三角形を作るには、
（４，４，８）、（４，８，４）、（８，４，４）の組み分けで三角形が作られる。
　よって、求める場合の数は、１６×３＝４８（通り）

(2)は455(通り)の組合せで、お二人とも正解です。
(3)は私の解と管理人さんとは異なっています。
できたらその48通りは具体的に頂点の部分を{1,2,3,･･･,16}
とするとき、どの頂点の3つを選んでいるのかを示してくれませんか。

全く自信はありませんが．．．。
頂点を１、２、・・・、１６とした場合、（４，４，８）が表す三角形として
１５９とか２６10とか、・・・で、∠５１９＝∠５９１＝４５°、∠１５９＝９０°
となります。

外接円を考えたときに、任意の 2 頂点間にできる中心角が偶数度になればいいと考えます。

(1)
360/14 を整数倍して偶数を作るには 7 の倍数を掛けるしかなく、正の 7 の倍数 3 つ合計で 14 にはできません。
よって 0 通り。

(2)
360/15 を整数倍して偶数を作るには任意の整数でよく、結局 A,B,C を重複しないように任意に選べばいいです。
よって 15P3 = 2730 通り。

(3)
360/16 を整数倍して偶数を作るには 4 の倍数を掛けるしかなく、正の 4 の倍数 3 つ合計で 16 になるのは 4,4,8 という組み合わせのみ。
つまり直角二等辺三角形を作るしかありません。
A が直角なものが 16*2 = 32 通り、B と C についても同じ個数あるので、全部で 32*3 = 96 通り


##「3頂点を選んで三角形をつくる」のではなく、「3頂点A,B,Cを選んで三角形ABCをつくる」問題ですから、点の名前が入れ替われば別物とすべきだと思います。

(1)は90°の角度は作れるが（1,2,9の頂点など)他の内角は整数になれなく、結局0(通り)
(2)は出題の時3点を何気にA,B,Cと言ってしまったのでDD++さんの解釈が起こったが(こう質問するとDD++さんが正しい。)
こちらが思っていたのは、15個の頂点の3つの組合せが幾つ取れるか？
のつもりで考えていたので15C3=455(通り)でお願いしておきます。
(3)は直角二等辺三角形なら、条件を満たすので、これも頂点1,2,3,･･･,16
からの3つの頂点の選び方は各頂点に90°の部分がくる場合の16（通り)
という予定でした。

正n多角形と、その頂点の任意の3点を結んで作る三角形の3つの内角がどれも整数角となれるのが
n=5 -->各内角は36°の整数倍
n=6 -->各内角は30°の整数倍
n=9 -->各内角は20°の整数倍
n=10 -->各内角は18°の整数倍
n=12 -->各内角は15°の整数倍
n=15 -->各内角は12°の整数倍
n=18 -->各内角は10°の整数倍
n=20 -->各内角は9°の整数倍
n=30 -->各内角は6°の整数倍
n=36 -->各内角は5°の整数倍
が起こせるんですね。
計算をして初めて気付けました。