😊出会いの泉😊

ユークリッド幾何学の話ですが、ギリシャの三大作図問題は、
円積問題、立方体倍積問題、角の三等分問題ですが、
立方体倍積問題、角の三等分問題は、1837年にヴァンツェルによって不可能とされた。
また、円積問題は1882年にリンデマンによって、不可能とされた。
wikipedia[ 定規とコンパスによる作図]参照。
しかし、20世紀に、はいって、折り紙の技術によって、立方体倍積問題、角の三等分問題は、
解決された。
面白いのは、1899年にモーリーの定理を見つけたフランク・モーリーである。
wikipedia[ モーリーの定理]参照。
彼は、角の三等分線の延長線の交点を結んでできる三角形が正三角形であることを証明したのである。
ところが、彼の前に、角の三等分は不可能であると証明されていたのである。
こういうところが、数学の面白いところではないだろうか？

0.999・・・は、9の倍数の性質により、0.999・・・のすべての9の和は9の倍数である。
であるから、9の倍数の性質により、0.999・・・は、9の倍数。
ところが、1は9の倍数でない。
よって、1は0.999・・・と等しくない。

というと無限和は求められないというでしょう。

ならば、よく使われる説明の
x=0.999・・・
10x-x=9.999・・・-0.999・・・ 無限演算のため計算不可能
9x=9
x=1
これは、間違いである。

さて、
a=0.999・・・
と置く。
x=a
10x-x=10a-a
9x=9a
x=a
ここでは、代数計算であり、無限演算は行われていない。したがって、真実であり、
x=0.999・・・
である。

高校数学では「1は0.999・・・である。」そうですが、フランク・モーリーでは、ありませんが、
「1は0.999・・・と等しくない。」
は、真実である。

もっとも、9をN個足したら、和は9Nなので、無限和に頼らなくても和が9の倍数になることは、当たり前である。

私の無限和は許されなくて、
＞10x-x=9.999・・・-0.999・・・ 無限演算のため計算不可能
この無限演算が許されるのなら、えこひいきである。

1は0.999・・・と等しくない。ということから、無限小は0でないことが証明された。ただし、ここでいう無限小とは四則演算可能な最小数という意味合いであって、無限大、無限小という場合の無限小ではない。
もちろん|最小数|>0であり、最小数と言っても0より絶対値は大きいことは間違いない。
したがって、例えば、
1>rの等比級数の和は、a[{1-r^(n+1)}/(1-r)]であって、a{1/(1-r)}ではないのである。

多分、無限小=0としている多くの数学が影響を受けるだろう。

編集済み

α=0.999・・・を、「1より小さいなんらかの数」であるとすると以下のように矛盾が生じます。

①：αは、記法からみて、1より小さい数の中で最大の数である。(と仮定する。)

②：αは循環小数であるがゆえに、有理数である。
既約分数として、α=n/m と書くこととする。
ここで、n<m であることは①から導かれる。

③:では、有理数であるところの、
β=(m+n)/(m+m)　を考えてみよう。

明らかに、
α<β<1
である。

このことは、①に矛盾します。

言い換えればβの十進表記ができない、ということにもなります。

まとめ：①の仮定に無理があったことになります。

Dengan kesaktian Indukmu様、お久しぶりです。

さて、②の根拠が、ありません。
９が並んだ数が循環小数であると一般的には言われている様ですが、1/3は、１割る3より、0.3333・・・とあまり０．０・・・1です。あまり１があるから、3が連続するので、循環小数ですし、3倍したら1になります。ところが、あまり０．０・・・・１をなくしたら、０．３３３・・・ですが、3倍しても０．９９９９・・・で1になりません。（なぜなら、9の倍数は1でないから）
つまり、1/3と０．３３３・・・は等しくないのです。つまり、３が並んだ数は、循環小数ではないのです。あまりがないと循環小数であり、有理数にはなれないのです。
同様に、０．９９９・・・は、あまりがないので、循環小数であり、有理数にはなれないのです。では、実際０．９９９・・を有理数にできますか？
これは、放送大学で初歩の数学で習いました。Wikipediaの循環小数および、wikipedeaの0.999の循環小数は、間違いです。
繰り返しになりますが、有理数の小数表現である循環小数はあまりが循環するから循環するのです。あまりがなければ循環できません。ただただ９が並んだ数は循環小数の根拠がありません。

編集済み。

今日NHK総合午後11:00〜11:30で「笑わない数学」の「 非ユークリッド幾何学」が放送されます。
再放送は、
一回目10月7日（土）Eテレ午後９：３０～午後10:00
二回目10月１１日（水）Eテレ午前０：５５～午前1:25
だそうです。

深夜なので私は、いつも録画して、翌日見ています。

来週は
コラッツ予想
初回放送日: 2023年10月11日 NHK総合午後11:00〜11:30
だそうです。

リンクを貼っておきます。

はちべえさん。

「根拠がありません」とのおっしゃりように
(ああ、どうしてこの方はこれほどまでに自説に自信をお持ちなのだろうか、なぜ世界中の数学者が認めていることに《根拠がない》などとおっしゃるのか) と頭を抱えました。

私のような者にはあなたの妄説に反駁し、かつ納得させる、そのような自信など皆無に等しいと覚悟を決めました。

今後は、実数論に関する限りにおいて、あなたがどのようなボケをかましても、私は絶対にツッコミをいれないことを、神に誓います。

さて。以下は最後の足掻きです。はちべえさんからの応答は不要です。むしろないことを願います。

命題１。「任意の、1 より大きい正の実数 x について、それよりも大きい自然数 n が存在すること」

これをはちべえさんにお認め頂きたく存じます。
実際、例えば x の整数部に プラス１した自然数を n とすればよいですね。
これ、反論してはいけない命題と存じます。

命題２。
「任意の、1 より小さい正の実数 y について、ある自然数 n が存在して、
y ＞ 1/n
となる。」

この命題2の証明は簡単で、
命題１の x に 1/y を代入してのち、
両辺の逆数をとれば良いです。

ここまで、はちべえさんには是非とも
お認め頂きたく存じます。
異議があるようでしたならば
それははちべえさんには
数について勘違い
があることの証左となります。

さて命題２のオキモチとしては、
《任意の、1 より小さい正の実数 y について、それよりも小さい正数が存在する》
ということ、
ここが、ポイントとなります。

さて、ここで、
z = 1 -0.99999………
について、私はこれを0としますが
はちべえさんは
z ＞ 0
とするのですね。

はちべえさんの z に命題２を
適用しましょう。

z について ある自然数 n が存在して
z ＞ 1/n
が成り立つのですね。
つまり、
1 -0.99999…… ＞ 1/n
整理すると
1 ＞ 0.99999…… +1/n
1 -1/n ＞ 0.99999……
この最後の不等式をみてムムムと
思っていただければと存じます。
《0.999999……は1より小さい数のなかでも最大な数のはず。》に反しますね。

《この矛盾ははちべえさんのz》の存在に無理があることを証明しています。

Dengan kesaktian Indukmu様、こんばんは。

zは、四則演算できる最小数なのです。
10進数ですから、０から９までの記号を使います。そして、９を超えるときは桁上りが発生します。
さて、０．９９９９・・・・は、全部９を使っているので、もう記号はありませんから、１と０．９９９・・・の間で10進数で表せる数はありません。１０進数ですから、存在できないのです。
ですから、
＞z について ある自然数 n が存在して
＞z ＞ 1/n
という1/ｎは存在できないのです。

さて、非ユークリッド幾何学の番組を見ましたか？番組のまとめのリンクを貼っておきます。
線と離れた点を通る平行な線は1本しかないというのユークリッド幾何学でしたが、非ユークリッド幾何学では、何本もあったり、1本もないというものでも、ユークリッド幾何学が成り立てば、非ユークリッド幾何学も成り立つのでしたね。
常識が根底から崩れたのです。１＋１＝２は正しいのか？これも番組でやるそうです。

もっと、驚くことを言いましょう。０．９９９・・・は、10進数の定義により、末位が9から次の記号が必要になって、桁上りが発生するのですが、つまり、０になり、桁上りが連続的に起きて１.０００・・・・・つまり、１になるのです。つまり、10進数は末位があるのです。つまり、量子的というかデジタル的というか、末位があるので、９が無限に並ぶことなどというものはないのです。だから、０．９９９・・・は正確に言うと、末位があるので、０．９９９・・・９なのです。末位より後ろには何もあってはならないのです。

再再編集済み。
2023-10-9　21:4４再編集済み。

今晩の「笑わない数学」は「コラッツ予想」です。
初回放送日: 2023年10月11日 NHK総合午後11:00〜11:30
お見逃しなく。

再放送は、
一回目10月14日（土）Eテレ午後９：３０～午後10:00
二回目10月18日（水）Eテレ午前０：５５～午前1:25
だそうです。

編集済み

次回は、「１＋１＝２」だそうです。
初回放送日: 2023年10月18日 NHK総合午後11:00〜11:30
リンクを張っておきます。

コラッツ予想のまとめのリンクを張っておきます。

なお、1億2000万円の賞金には、期限があって、２０２１年 7 月 7 日から２０３１年 7 月 6 日までだそうです。

コラッツ予想　証明で、こんなものを見つけました。
リンクを貼っておきます。

この人は、完成して、英文の論文をPDFにして公開しています。
リンクを貼っておきます。

ミレニアム懸賞問題（リンクを貼っておきます）は、賞金100万ドルですが、円安で、今ならおおよそ1億5000万円くらいになります。

コラッツ予想の賞金の詳細をリンクに貼っておきます。

今晩の「笑わない数学」は、「１＋１＝２」だそうです。
初回放送日: 2023年10月18日 NHK総合午後11:00〜11:30
お見逃しなく。

再放送は、
一回目10月21日（土）Eテレ午後９：３０～午後10:00
二回目10月25日（水）Eテレ午前０：５５～午前1:25
だそうです。

来週は、「結び目理論」だそうです。
初回放送日: 2023年10月25日 NHK総合午後11:00〜11:30
リンクを貼っておきます。

>10進数ですから、０から９までの記号を使います。そして、９を超えるときは桁上りが発生します。
さて、０．９９９９・・・・は、全部９を使っているので、もう記号はありませんから、１と０．９９９・・・の間で10進数で表せる数はありません。１０進数ですから、存在できないのです。

０．９９９・・・=aとして1=bとすると、実数は連続するから、(a+b)/2が存在するはずです。しかし、１と０．９９９・・・の間で10進数で表せる数はありませんから(a+b)/2は存在しません。つまり、10進数は実数ですが、連続しません。たとえ何進数であろうと、同じですから、実数は連続してないのです。

思うに、昔の人は、我々が使う実数は10進数であることを失念していたのでしょう。

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