😊出会いの泉😊

勘違いしているかも知れないがn=6と計算上なるようですが・・・・

管理人さんのコメントに対してです。

例えば A が 2 点の場合、b は 3 点「以上」であればよく、3 点ちょうどである必要はありません。
18回を超えると 3 点ちょうどである確率が下がるのは、4 点以上になることが多くなるからです。
3点「以上」である確率はちゃんと単調増加していき、1 に収束しますよ。

また、そもそも A が 2 点取るのも実はかなり運がいい方の結果です。
A がいきなり裏を出す場合なども考えると、実は勝率 50% には一桁回数で足ります。

GAI さん

計算してみたところ、n=6 だと、B の勝率は 40.67% くらいのようです。
A が確率 1/2 で 0 点になりますが、一方 B が 6 回振っても一度も 1 が出ず引き分けというオチになる場合が少なからずあり、勝率 50% にはちょっと届かない……
という感じですかね。

BがAに勝つ確率は 1-(11/12)^n となるようですね。

Aの得点がちょうど k となる確率は (1/2)^(k+1).

Bの得点が k+1 以上となる確率は
n!*[x^n]( (exp(x/6))^5*Σ[j=k+1～∞](x/6)^j/j! )
=n!*[x^n]( exp(5*x/6)*(exp(x/6)-Σ[j=0～k](x/6)^j/j! )
=n!*[x^n]exp(x) - n!*[x^n]( exp(5*x/6)*Σ[j=0～k](x/6)^j/j! )
=1-n!*[x^n]( exp(5*x/6)*Σ[j=0～k](x/6)^j/j! ).

よって、BがAに勝つ確率は、
Σ[k=0～∞]((1/2)^(k+1))*(1 - n!*[x^n](exp(5*x/6)*(Σ[j=0～k](x/6)^j/j!))
=1-n!*[x^n]([k=0～∞]((1/2)^(k+1))*exp(5*x/6)*Σ[j=0～k](x/6)^j/j!)
=1-n!*[x^n]( exp(5*x/6)*Σ[j=0～∞]((x/6)^j/j!)*[k=j～∞](1/2)^(k+1) )
=1-n!*[x^n]( exp(5*x/6)*Σ[j=0～∞]((x/6)^j/j!)*(1/2)^j
=1-n!*[x^n]( exp(5*x/6)*exp(x/12) )
=1-n!*[x^n]( exp(11x/12) )
=1-(11/12)^n.

なるほど、exp(x) の係数としても書けるんですね。
本質的には変わりませんが、私は以下の計算手順を想定していました。


A の得点がちょうど a 点になる確率は (1/2)^(a+1) です。
B の得点がちょうど b 点になる確率は反復試行の確率なので nCb*(1/6)^b*(5/6)^(n-b) です。

よって、B が勝つ確率は、
Σ[b=1→n] Σ[a=0→b-1] (1/2)^(a+1)*nCb*(1/6)^b*(5/6)^(n-b)
と表されます。
これを整理すると

Σ[b=1→n] Σ[a=0→b-1] (1/2)^(a+1)* nCb*(1/6)^b*(5/6)^(n-b)
= Σ[b=1→n] {1-(1/2)^b}*nCb*(1/6)^b*(5/6)^(n-b)
= Σ[b=0→n] {1-(1/2)^b}*nCb*(1/6)^b*(5/6)^(n-b)
= Σ[b=0→n] { nCb*(1/6)^b*(5/6)^(n-b) - nCb*(1/12)^b*(5/6)^(n-b) }
= (1/6+5/6)^n - (1/12+5/6)^n
= 1-(11/12)^n

なので、1-(11/12)^n ≧ 1/2 から n ≧ log(1/2)/log(11/12) = 0.7966……
つまり、n の最小値は 8 でした。


最初に反復試行の式から現れる nCb*(1/6)^b*(5/6)^(n-b) という形は、いかにも後で二項定理に使ってくださいという式です。
が、いざ実行するときには nCb*(1/12)^b*(5/6)^(n-b) と中身が変わっているという。
二項展開されたものを元に戻す計算はよくある計算ですが、こういうパターンは珍しいように思い、出題しました。

なお、実はこの問題、もっとあっさりした計算で答えを出す道もあります。

このゲームは A が先にプレイしようが B が先にプレイしようが、はたまた同時にプレイしようが結果には影響しません。
そこで、「とりあえず B がプレイしていって、k 回目に 1 の目が出たときに A が k 回目のコインを投げる」という方法でプレイすることにします。

すると、B が m 回投げた段階でまだ勝敗がわからない条件のもとで、m+1 回目で B の勝利が確定する条件付き確率は常に 1/12 です。
よって、n 回サイコロを投げて B が勝利できない確率は (11/12)^n となり、B の勝率は 1-(11/12)^n となります。

DD++さん、返信ありがとうございます。
様々な解法があるのですね。
勉強になります。