😊出会いの泉😊

a(n,n) はカタラン数になり、それを例の経路問題で意味づけをすると、
a(m,n) は途中も含めた各交差点への経路数ってことですね。
綺麗な一般項で書けるのかな？

ところで、a(1,1)=1 っていう条件は存在する意味がない気がするんですがどうなんでしょ。

a(m,n)=(n+1-m)*(n+m)!/((n+1)!*m!)
となります。

次のサイトに、カタラン数を求める興味深い方法があります。
https://mathlog.info/articles/2633

ここに示されている方法からa(m,n)は x の多項式
(-1+x)*(1+x)^(n+m) を展開したときの x^(n+1) の係数
となることがわかります。
a(m,n)
=C[n+m,n]-C[n+m,n+1]
=(n+1-m)*(n+m)!/((n+1)!*m!).


より一般には、次のことが知られています。

1,2,…,m と書かれたカードがそれぞれ a[1],a[2],…,a[m] 枚ある。
これらのカードを左から右に1列に並べるとき、左から順に見ていって、常に、
(1の枚数)≧(2の枚数)≧…≧(mの枚数)
を満たしているような並べ方の総数を f(a[1],a[2],…,a[m]) で表す。

a[1]≧a[2]≧…≧a[m] のとき、
f(a[1],a[2],…,a[m])
=((a[1]+a[2]+…+a[m])!/((a[1]+m-1)!*(a[2]+m-2)!*…*(a[m])!))*Π[i<j](a[i]+m-i-(a[j]+m-j))
が成立する。

a(m,n)=(n+1-m)*(n+m)!/((n+1)!*m!)　に、m=1、n=4 を代入すると、a(1,4)=4 で
例示の a(1,4)=5 にはなりませんが．．．？

・a(0,k)=a(1,1)=1　および
・a(m,n)＝a(m,n-1)+a(m-1,n)　とから、
a(1,2)=a(1,1)+a(0,2)=1+1=2.
a(1,3)=a(1,2)+a(0,3)=2+1=3.
a(1,4)=a(1,3)+a(0,4)=3+1=4.
となると思います。

例示の a(1,4)=5 はおそらく質問者さんの
計算ミスではないでしょうか。

確かに、a(1,4)=5 は、arcさんの記載ミスで、a(1,4)=4 が正しいのでしょう。
atさんの与えられた a(m,n)=(n+1-m)*(n+m)!/((n+1)!*m!) は、条件２を満たすことを確認しました。
a(n-1,n)=a(n,n) ならば、a(1,4)=a(0,4) で、条件１より、a(0,4)=1 なので、a(1,4)=1 となるはずですが、
先に示した a(1,4)=4 と矛盾し、よく分かりません。

＞a(n-1,n)=a(n,n) ならば、a(1,4)=a(0,4) で、

ここがおかしいのではないでしょうか？
a(n-1,n)=a(n,n)という条件式から、
a(1,4)=a(0,4)を導くことはできますか？

例えば、a(3,4)=a(4,4), a(4,5)=a(5,5)は導けます。

勘違いしていました！確かに、a(4,4)には適用出来て、a(3,4)ですが、a(1,4)には適用出来ないんでした！