😊出会いの泉😊

導出方法はわからないのですが、
プログラムを作って数値的に確認したところ
{2・(n!)^2・Σ[k=0～[n/2]]{{(n-k)C(k)}^2・n/(n-k)}} / (2n)!
と表せるようです。

具体値は
n=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …
に対して
1, 1, 7/10, 3/7, 2/7, 29/154, 211/1716, 173/2145, 257/4862, 123/3553, …
のようになります。

導出なしにその式の形を得られるとは思えないので、らすかるさんは何か意図があって秘匿したのかもしれませんが……


2n 個の玉を置く場所に 1 番から 2n 番まで順に採番します。
3 連続がないかどうかと 1 番がどちらの色であるかは明らかに独立なので、
1 番に赤が来た場合の条件付き確率を考えれば十分です。

まず、1 番が赤であるような全ての並べ方は、残り n-1 個の赤玉を 2n-1 ヶ所のどこに置くかを考えればよく、
[2n-1]C[n-1] = (2n-1)! / {(n-1)!*n!} = (2n)! / {2*(n!)^2} 通り。

そのうち条件を満たすものがいくつあるかを 2n 番目の色で分けて考えます。

[1] 2n 番が白である場合
円形に並べていることが無関係になります。
赤 2 連続の箇所が k ヶ所ある場合、白 2 連続も同じ k ヶ所になるので、
「n-2k 個の 1 と k 個の 2 を並べた順列」を 2 セット作ると考えればよく、条件を満たす並べ方は
Σ[k=0→[n/2]] {[n-k]C[k]}^2 通り

[2] 2n 番が赤である場合
2 番および 2n-1 番は白でなくてはならず、同様に考えると、
赤は「n-2k 個の 1 と k-1 個の 2 を 2 つの 1 の間に並べた順列」
白は「n-2k 個の 1 と k 個の 2 を並べた順列」
を作ると考えればよく、条件を満たす並べ方は
Σ[k=1→[n/2]] [n-k]C[k]*[n-k-1]C[k-1] 通り
これは、[n-k-1]C[k-1] = [n-k]C[k]*(k/(n-k)) と変形すれば Σ の範囲を k=0 からに変更できます。

よって、条件を満たす並べ方は合わせて
Σ[k=0→[n/2]] {[n-k]C[k]}^2*{1+k/(n-k)} = Σ[k=0→[n/2]] {[n-k]C[k]}^2*{n/(n-k)} 通りなので、
あとは確率の定義通りに割り算すればらすかるさんの提示した式までは得られます。


問題はこれが綺麗にまとまるのかどうかですが。

実際、式は導出しておらず、OEISで検索して出したものです。
プログラムで数えればn≦15程度はあっという間に求まります。
結果の分数だと式がわからないと思いましたので、約分前の
2/2,6/6,14/20,30/70,72/252,174/924,422/3432,1038/12870,…
を使うと
分母は2,6,20,70,252,924,3432,…
これをOEISで検索するとA000984=(2n)!/(n!)^2がヒットします。
分子は2,6,14,30,72,174,422,…
これはOEISで検索しても見つからないのですが、
全部偶数なので半分にした1,3,7,15,36,87,211,…を検索したら
A167539=Σ[k=0～[n/2]]C(n-k,k)^2*n/(n-k)がヒットしました。
よって私が書いた式が得られます。
もちろん頭の方の項だけなので確実ではありませんが、
少なくともn=19（27074090/35345263800=2707409/3534526380）までは
プログラムで数えた結果と一致することを確認しました。
結果的に合っていたので安心しました。
# 今まで、15項以上一致して異なる数列だった経験はありません。
# ものによりますが、10項以下の一致では異なる可能性もあります。
A167539にこれ以上簡単な式が書かれていませんので、
おそらく綺麗にまとめることは出来ないのだろうと思います。

DD ++さん返信ありがとうございます！
今返信を読んでいる途中なのですが
「2n 番が白である場合
円形に並べていることが無関係になります」
というのがいまいち理解できません。
例えばn＝3の時
赤玉を1,3,4の位置に配置する時場合と赤玉を1,5,4の位置に配置する場合は円形だということを考慮するとダブりになりませんか？？

らすかるさん

なるほど、有理数列でも分母分子を分けて探せば OEIS で見つかることがあるんですね。
尤も、「約分する前の姿が想像できれば」という条件をクリアできる場合に限りそうですけども。

母関数まで書かれているのに式の整理結果がないってことは、綺麗な式になる可能性は確かに望み薄ですね。
うーん残念。

kg さん

私の計算は、玉を置く場所に採番をすることで、回転して一致するものも別の並びとして数えています。
少し乱暴な言い方をすれば、普通に一列に並べる順列として考えていると言ってもいいです。
ただしその際、「赤赤白白赤白白赤」のように一列に書くと一見 3 つ並んでいるように見えなくなる特殊パターンが存在することに注意が必要になります。

しかし、1 番が赤で 2n 番が白だった場合、この特殊パターンには絶対になりようがありません。
だから普通に同じ色が 3 連続しないように「一直線に」並べることを考えれば十分ということになります。
それが「円形に並べていることが無関係」の意味するところです。


kg さんの理解の助けになるように、以下に n=4 での具体例を置いておきます。


1 番から 8 番までに赤白 4 個ずつ置く方法のうち、1 番に赤が来るのは 7C3 = 35 通りあります。
それらは 1 番が赤という条件のもとで同様に確からしいと考えられます。

そのうち条件を満たすものの個数を、グループ分けして数えます。


[1] 8 番が白である場合

普通に一列に並べ、同色 3 連続がないようにします。
「赤 2 連続の箇所が k ヶ所」で分けていきます。

k=0 : (4C0)^2 = 1 通り
赤白赤白赤白赤白

k=1 : (3C1)^2 = 9 通り
赤赤白白赤白赤白
赤赤白赤白白赤白
赤赤白赤白赤白白

赤白白赤赤白赤白
赤白赤赤白白赤白
赤白赤赤白赤白白

赤白白赤白赤赤白
赤白赤白白赤赤白
赤白赤白赤赤白白

k=2 : (2C2)^2 = 1 通り
赤赤白白赤赤白白


[2] 8 番が赤である場合

1 番と 8 番で実は既に赤の連続が発生していることに注意しながら同様に数えます。

k=0 : ありません。0 通り = (4C0)^2*(0/4)

k=1 : 3C1*2C0 = 3 通り = (3C1)^2*(1/3)
赤白白赤白赤白赤
赤白赤白白赤白赤
赤白赤白赤白白赤

k=2 : 2C2*1C1 = 1 通り = (2C2)^2*(2/2)
赤白白赤赤白白赤

よって、条件を満たす全ての並べ方は
(4C0)^2*(4/4) + (3C1)^2*(4/3) + (2C2)^2*(4/2) = 15 通りで、
そうなる確率は 15/35 = 3/7 となります。

DD ++さんへ
例まで示してくださりありがとうございます。大変分かりやすく勉強になりました！采番した時の確率は大変よく分かったのですが、やはり回転して同じになるものを１つと見た時の確率を求めるのは厳しいですかね…

回転して一致するものを１つとした時を自分でも考えてみたんですが、場合分けが複雑で…
あとらすかるさんの機械が出した式が、采番した時の確率だったのはなぜなんでしょうか。

> 回転して同じになるものを１つと見た時の確率を求めるのは厳しいですかね…
回転して同じになるものを一つとみるとパターンごとの確率が同じになりませんので、
その考え方では確率は求まりません。
もちろんパターンごとの発生確率まで考慮して計算すれば求まらなくはないですが、
パターンごとの発生確率を考えるためには回転して一致するパターンが何通りあるかを
調べてそれを掛けることになるため、結局場合分けが必要になって余計な手間がかかるだけです。

> らすかるさんの機械が出した式が、采番した時の確率だったのはなぜなんでしょうか。
回転して一致するものも別パターンと考えて全パターンを発生し、条件を満たすものを
数えるというプログラムで値を出したからです。

> 回転して同じになるものを１つと見た時の確率を求めるのは厳しいですかね…

厳しい厳しくない以前に、意味を成しません。


例えば、以下のような問題を考えます。
「赤玉 9 個と白玉 1 個が入っている箱から無作為に 1 つの玉を取り出す。白玉が取り出される確率は？」
答えはもちろん 1/10 です。

そこに、ある人がこんなことを言ったとします。
「赤玉は同じ見た目だからまとめて 1 つと考えた場合の確率を求めるのは厳しいですか？」
どう思います？