たまたま見かけた漸化式
次の平方数9個を使い
a(1)=1,a(2)=1,a(3)=25,a(4)=121,a(5)=1296,a(6)=9025
a(7)=78961,a(8)=609961,a(9)=5040025とし
数列{a(n)}を
a(n)=5*a(n-1)+35*a(n-2)-67*a(n-3)-145*a(n-4)+145*a(n-5)+67*a(n-6)-35*a(n-7)-5*a(n-8)+a(n-9)
なる漸化式を構成すれば、すべての自然数nでa(n)が平方数を産み出すという。
よくもこんな漸化式を思いつけるものですね～
a[1]=1,a[2]=4,a[3]=49,a[n+3]=15*a[n+2]-15*a[n+1]+a[n]
みたいなことですかね？
作るだけならわりと簡単な気もしますけれども。
4項間での漸化式でも構成可能と示してもらったので、これを手掛かりに挑戦してみました。
分析していくと、とってもチェビシェフ多項式と深い関係を結べる構造が見えてきました。
a(1)=1,a(2)=4,a(3)=9
または
a(1)=1,a(2)=1,a(3)=9
で
a(n)=3*(a(n-1)-a(n-2))+a(n-3)
a(1)=1,a(2)=4,a(3)=49
または
a(1)=1,a(2)=16,a(3)=225
または
a(1)=1,a(2)=1,a(3)=9
または
a(1)=1,a(2)=1,a(3)=25
で
a(n)=15*(a(n-1)-a(n-2))+a(n-3)
a(1)=1,a(2)=9,a(3)=289
または
a(1)=1,a(2)=36,a(3)=1225
または
a(1)=1,a(2)=1,a(3)=25
または
a(1)=1,a(2)=1,a(3)=49
で
a(n)=35*(a(n-1)-a(n-2))+a(n-3)
a(1)=1,a(2)=16,a(3)=961
または
a(1)=1,a(2)=64,a(3)=3969
または
a(1)=1,a(2)=1,a(3)=49
または
a(1)=1,a(2)=1,a(3)=81
で
a(n)=63*(a(n-1)-a(n-2))+a(n-3)
･････････････････
と必ず平方数しか産み出さない漸化式が構成できますね。
