😊出会いの泉😊

(n,p)=(1,6),(2,8),(3,10),(4,12),…で成り立ちますので、pは一つに決まらず、問題が正しくないと思います。
と思いましたが、ひょっとして、一行目は「自然数nに対して」という意味で、答えがp=2n+4ということでしょうか。

GAIさま、らすかるさま、こんにちは。

らすかるさまと同じですが、
2^(2n)+2^(2n+3)+2^p=a^2とおくと、
2^(2n)+8*2^(2n)+2^p=a^2
9*2^(2n)+2^p=a^2
2^p=a^2-9*2^(2n)
2^p=(a+3*2^n)(a-3*2^n)
左辺は正だから、a-3*2^n>0

2^p=(a+3*2^n)(a-3*2^n)
より、b+3,b-3が2^c,2^dになるのは、
b+3=2^cより、b=2^c-3
b-3=2^dより、b=2^d+3
WolfRamAlphaによると、整数解はb=5,c=3,d=1の1組しかない。

よって、a=5*2^nだとしてa-3*2^n=2*2^n
だとしてa+3*2^n=8*2^n
したがって、
2^p=(a+3*2^n)(a-3*2^n)
2^p=16*(2^n)* (2^n)=16*2^(2n)=2^4*2^(2n)=2^(2n+4)
ゆえにp=2n+4

多分「素因数分解の１意性」とタイトルからして、解法は間違っているとおもいます。

2^(2*n) + 2^(2*n+3) を 9*
2^(2*n) と書いていないのが不自然なので、問題を誤記しているのでしょう。

2^(2*n) + 2^(n+3) + 2^p
が正しい式で、答えは p=4 とかですかね。

2^(2*n) + 2^(n+3) + 2^p
の場合は、pが任意のnに対する定数ならばp=4しかないですが
「任意のn」をなくして「nに依存してよい」ならばnが奇数限定でp=(3n+5)/2という解もありますね。

うんざりはちべえさん、こんにちは。

＞2^p=(a+3*2^n)(a-3*2^n)
より、b+3,b-3が2^c,2^dになるのは、
b+3=2^cより、b=2^c-3
b-3=2^dより、b=2^d+3
WolfRamAlphaによると、整数解はb=5,c=3,d=1の1組しかない。

これは手計算でもいけますね。
b+3=2^cより、b=2^c-3
b-3=2^dより、b=2^d+3
∴2^c-3＝2^d+3　∴2^c-2^d=6　∴2^(c-1)-2^(d-1)=3
右辺が奇数なので左辺も正の奇数で、d-1=0,c-1=2の場合しかない。
∴c=3,d=1　∴b=2^3-3=5
よって、整数解はb=5,c=3,d=1の1組しかない。

また、2^p=(a+3*2^n)(a-3*2^n)から、左辺が偶数(p≠0とする)より右辺も偶数で、
aは偶数よりa=2m(mは整数)と置くと、2^p=(2m+3*2^n)(2m-3*2^n)
∴2^(p-1)=(m+3*2^(n-1))(m-3*2^(n-1))
これを繰り返す事になるので、初めにa=b*2^n（n乗じゃないと右辺は奇数になってしまう）と置くと、
2^p=(b*2^n+3*2^n)(b*2^n-3*2^n)
∴2^(p-2n)=(b+3)(b-3)
よって、b+3=2^c，b-3=2^dと置くのですね。（p-2n>0）

題意より
2^(2*n)+2^(2*n+3)+2^p=m^2 (m;整数)
とおくと
2^p=m^2-2^(2*n)*(1+2^3)
=m^2-(2^n*3)^2
=(m-3*2^n)*(m+3*2^n)
ここに素因数分解の一意性から
m-3*2^n=2^s･････①
m+3*2^n=2^t･････②
を満たす(s<t)自然数s,tが存在する。
ただしs+t=p･････③
②-①より
3*2^(n+1)=2^t-2^s=2^s*(2^(t-s)-1)
ここに2^sは偶数より2^(t-s)-1=3でなければならない。
よって
2^(t-s)=2^2からt-s=2
このときs=n+1
これよりt=s+2=n+3
③からp=2*n+4


なるものを準備していました。
問題文の表現をどの様に表せばいいかの難しさを身に染みて感じます。



　　

壊れた扉さま、こんばんは。

なるほどです。
手計算でできますね。

GAIさま、こんばんは。

なるほど。
最初はその方向で・・・・でも、むつかしそうで、諦めました。

らすかるさん
n 依存の話をするなら、n が奇数限定で p = 3n-5 もありますし、n = 7 で p = 15 のようなかなり特殊な解もあります。
まあ、なんにせよ誤記ではなかったようですけれども。

GAI さん
9*4^n という簡素な表記にせず、わざわざ 2^(2*n)+2^(2*n+3) という表記にした理由はなんだったのでしょう？

管理人さまの解法はよくできていますね。