アレキサンダー方程式
交点のない結び目の、式はどうなりますか？
ご教授ください。
私はこの方面についてはまったく無知ですけれども、調べた結果をご報告させてください。
出来ましたならば、この報告をもとに、再度検証をお願いいたします。
■交点のない結び目のアレキサンダー多項式は
1
そのものです。
□交点のない結び目を
「自明な結び目」と言うのだそうです。
□自明な結び目のアレキサンダー多項式
についての説明が以下の PDF にあります。
http://www.f.waseda.jp/taniyama/mathsciknot/reports/23.pdf
以上です。
よろしくお願いいたします。
ありがとうございます。
自明な結び目を、変形（ひねり）交点を３つにして、方程式を計算すると、
１にならないので、困りました。求め方がおかしいんですね。
御参考。
アレキサンダー多項式ほか、有名どころの多項式を、結び目ごとに紹介しているサイトがあります。
注:httpsに対応しておらずhttpなサイトのため一部のブラウザではアクセスできないことがあります。
http://katlas.math.toronto.edu/wiki/The_Rolfsen_Knot_Table
たとえば自明な結び目であれば、
上記ページの「Knots with 7 or fewer crossings」にならんだ各結び目のうち、「0_1」のリンクを踏めば
http://katlas.math.toronto.edu/wiki/0_1
のページに飛びます。このページは自明な結び目のページです。
「Polynomial invariants」の欄に目をやり
そこにある
【Alexander polynomial】が、《1》
であることから、
自明な結び目のアレキサンダー多項式は 1 とわかるわけです。
また、同様にして 3_1 のリンクを踏めばtrifoliate leaves (三つ葉)の結び目のページに飛びます。
http://katlas.math.toronto.edu/wiki/3_1
アレキサンダー多項式は
t +1/t -1
となるようですね。
この結び目は、裏返すとアレキサンダー多項式が違う形になるのではとぼんやりと記憶しているのですが、そちらについては今回ご案内したアクセス方法では検索できませんでした。ご容赦ください。
笑わない数学で紹介されていたアレキサンダー多項式の定義では
自明な結び目は色々な多項式が構成されてしまうみたいですね。
-tやt^2やt^2+t,etc
等出来てしまう。
自明でない結び目では固有の多項式となると思われます。
