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スレッドNo.158

自然数の分割数を勉強してみて

自然数nの分割数として
n=6なら
[6]
[1, 5]
[2, 4]
[3, 3]
[1, 1, 4]
[1, 2, 3]
[2, 2, 2]
[1, 1, 1, 3]
[1, 1, 2, 2]
[1, 1, 1, 1, 2]
[1, 1, 1, 1, 1, 1]
以上11通り
n=8なら
[8]
[1, 7]
[2, 6]
[3, 5]
[4, 4]
[1, 1, 6]
[1, 2, 5]
[1, 3, 4]
[2, 2, 4]
[2, 3, 3]
[1, 1, 1, 5]
[1, 1, 2, 4]
[1, 1, 3, 3]
[1, 2, 2, 3]
[2, 2, 2, 2]
[1, 1, 1, 1, 4]
[1, 1, 1, 2, 3]
[1, 1, 2, 2, 2]
[1, 1, 1, 1, 1, 3]
[1, 1, 1, 1, 2, 2]
[1, 1, 1, 1, 1, 1, 2]
[1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]
以上22通りとnに対してその分割数が決まるので、それをP(n)で表すことにする。
n=1,2,3,・・・,20では
P(n);1,2,3,5,7,11,15,22,30,42,56,77,101,135,176,231,297,385,490,627
と言うことになる。

さてこの一見不規則な数の並びに例のラマヌジャンがn=0,1,2,3,・・・のすべてに対し
P(5*n+4)==0 (mod 5)
P(7*n+5)==0 (mod 7)
P(11*n+6)==0 (mod 11)
を発見する。
P(13*n+7)==0 (mod 13)
と調子に乗りたいが、これは全く成立しない。
1960年代でAtokinがやっと
P(11^3*13*n+237)==0 (mod 13)
を発見する。
その後
P(59^4*13*n+111247)==0 (mod 13)
も見つかる。

次の素数17では
P(23^3*17*n+2623)==0 (mod 17)
P(41^4*17*n+1122838)==0 (mod 17)

素数19では
P(101^4*19*n+815655)==0 (mod 19)
他に

P(999959^4*29*n+289956221336976431135321047)==0 (mod 29)

P(107^4*31*n+30064597)==0 (mod 31)

が成立しているという。

また素数5,7,11だけを組み合わせたような数には
If δ = 5^a*7^b*11^c and 24*λ ≡ 1 (mod δ),
then P(δ*n + λ) ≡ 0 (mod δ)
とラマヌジャンは予想する。

これを元に調べてみると1000以下にある条件数では
25=>P(25*n + 24)==0 (mod 25)
35=>P(35*n + 19)==0 (mod 35)
49=>P(49*n + 47)==0 (mod 49)
55=>P(55*n + 39)==0 (mod 55)
77=>P(77*n + 61)==0 (mod 77)
121=>P(121*n + 116)==0 (mod 121)
125=>P(125*n + 99)==0 (mod 125)
175=>P(175*n + 124)==0 (mod 175)
245=>P(245*n + 194)==0 (mod 245)
275=>P(275*n + 149)==0 (mod 275)
343=>P(343*n + 243)==0 (mod 343)
385=>P(385*n + 369)==0 (mod 385)
539=>P(539*n + 292)==0 (mod 539)
605=>P(605*n + 479)==0 (mod 605)
625=>P(625*n + 599)==0 (mod 625)
847=>P(847*n + 600)==0 (mod 847)
875=>P(875*n + 474)==0 (mod 875)
が起こることになる。

ところがここが数論の繊細で玲瓏,陰翳深い部分で
そのほとんどが成立するのであるが、ただ一つ
343=>P(343*n + 243)==0 (mod 343)
だけはn=0,1,2,・・・,20に対し
245,294,0,196,0,0,0,196,98,0,98,0,0,0,98,98,0,196,0,0,0
が並び、予想に反する。
他のより多くの実例を観察することでその原因が
343=7^3
で数を構成する素数7の部分の指数にあり、そこを変更して
一般に7^b -> 7^(floor(b/2)+1)
として処理せねばならないことが判明した。
即ちb=3なら
floor(3/2)+1=1+1=2
つまり(mod 343) ではなく(mod 7^2)=(mod 49)で処理せよ。
343=>P(343*n + 243)==0 (mod 49)なら
0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0
と予想に合致する。
そこで次の変更が加えられた。

If δ = 5^a*7^b*11^c and 24*λ ≡ 1 (mod δ),
then P(δ*n + λ) ≡ 0 (mod 5^a*7^(floor(b/2)+1)*11^c)

ういうわけである。
一見不規則のようでも色々な微妙な不変規則が潜んでいるもんですね。

どなたか素数23に対する0に繋がる合同式をご存知ならお知らせ下さい。
(いろいろ文献やサイトを探し回ったのですが、これだけは見つけられなくいます。
また自分で探してみてはいるんですが
ひょんな事から次の式は(mod 23)では0にならないのだろうかと思った。
時間の関係で一部しか確認されていない。(でもこんなにあるわけないだろうに?)
P(37^4*23*n+631052)
P(67^4*23*n+5476393)
P(95^4*23*n+18897974)
P(133^4*23*n+29309936)
P(179^4*23*n+60460032)
P(185^4*23*n+103152724)

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年08月11日 09:23)

GAIさんによる御投稿「自然数の分割数を勉強してみて」に関連する話題について記載しているサイトをみつけましたので御報告いたします。
■分割数をグランドカノニカル分布で求める(http://zakii.la.coocan.jp/physics/75_partition_number.htm)です。

引用して返信編集・削除(未編集)

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