不連続関数の積分
次の定積分の値は何？
(1)∫[0→3]floor(x^2)dx
(2)∫[0→3]ceil(x^2+floor(x))dx
(3)∫[1/π→1/2]log(floor(1/x))dx
(4)∫[e^√π→(√π)^e^2]ceil(x)dx
回答ではありません。申し訳ありません。
最近、こんなのを見かけまして目を丸くしていた次第です。
∫[0→1](1/x -floor(1/x))dx = 1 -γ
x=0 の付近で激しく振動する関数の定積分なのでどうやって求めるのかと思案投げ首です。
なお、wolfalpha では答えてくれませんでした。
∫[0→1](1/x-floor(1/x))dx
=∫[1/2→1](1/x-1)dx+∫[1/3→1/2](1/x-2)dx+∫[1/4→1/3](1/x-3)dx+…
=lim[n→∞]{∫[1/n→1](1/x)dx-Σ[k=2～n](1/n)}
=lim[n→∞]{logn-Σ[k=2～n](1/n)}
=-lim[n→∞]{Σ[k=2～n](1/n)-logn}
=1-lim[n→∞]{Σ[k=1～n](1/n)-logn}
=1-γ
となりますね。
∫[x=1→∞](1/floor(x)-1/x)dx=γ
となるようですね。
Euler's constant (or the Euler-Mascheroni constant), gamma.
と言われるγについて、Wikipediaでの記事を読んでみたら
γと円周率πとの関係が分かっていないという記述を見かけた。
例えばπと自然対数の底eとはこれをつなぐ関係式はしばしば見ることはあるが、
そういえばγとπはあまり見たことはなかった。
そこでなんかないのかと探し回ったら
Γ関数で
Γ(1/2)=√π
Γ'(1)=-γ
とガンマ関数で表現でき
またたまたま
γ^2+π^2/6=Γ''(1)=∫[x=0→∞]e^(-x)*(log(x))^2dx
が成立することを発見した。(A081855参照)
これは２つを結びつける大きな関係ではなかろうか？
何方か他に何か２つを結ぶ関係式をご存知の方はお教え下さい。
本日みかけたのですが
∫[x=0→∞] ((sin(x)*log(x))/x)dx = -γ*π/2
なのだそうです。
【御参考】
https://mathlog.info/articles/FB8gF9bmpb3LJ5CDZBzo
計算機で確認したらピタリ同じ数値を確認しました。
sinとlogの組合せ！
数学って不思議で面白い。
