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スレッドNo.160

選ばれなかったグループがわかる3つのグループの分け方

思いついた問題です。

1〜nまでを、3つのグループに分ける。(各グループには少なくとも1つの数が入る)
いずれかの2グループから、それぞれ1つずつ数を選ぶ。それらの数から、選ばれなかったグループを確定したい。
mod 3以外の分け方はあるでしょうか?

思いついたのは...
(2進法で1が偶数桁だけ),(2進法で1が奇数桁だけの奇数),(それ以外の数)

ですが...合ってますかしらん?
また、それ以外での分け方ってありますでしょうか?

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t=(1+sqrt(5))/2
f(n)=floor(n*t^2)
g(n)=floor(t*floor(n*t)
h(n)=floor(t*floor(n*t^2))
で
n=1~50でf(n),g(n),h(n)を計算させると
gp > for(n=1,50,print(n";"f(n) " VS "g(n) " VS " h(n)))
1;2 VS 1 VS 3
2;5 VS 4 VS 8
3;7 VS 6 VS 11
4;10 VS 9 VS 16
5;13 VS 12 VS 21
6;15 VS 14 VS 24
7;18 VS 17 VS 29
8;20 VS 19 VS 32
9;23 VS 22 VS 37
10;26 VS 25 VS 42
11;28 VS 27 VS 45
12;31 VS 30 VS 50
13;34 VS 33 VS 55
14;36 VS 35 VS 58
15;39 VS 38 VS 63
16;41 VS 40 VS 66
17;44 VS 43 VS 71
18;47 VS 46 VS 76
19;49 VS 48 VS 79
20;52 VS 51 VS 84
21;54 VS 53 VS 87
22;57 VS 56 VS 92
23;60 VS 59 VS 97
24;62 VS 61 VS 100
25;65 VS 64 VS 105
26;68 VS 67 VS 110
27;70 VS 69 VS 113
28;73 VS 72 VS 118
29;75 VS 74 VS 121
30;78 VS 77 VS 126
31;81 VS 80 VS 131
32;83 VS 82 VS 134
33;86 VS 85 VS 139
34;89 VS 88 VS 144
35;91 VS 90 VS 147
36;94 VS 93 VS 152
37;96 VS 95 VS 155
38;99 VS 98 VS 160
39;102 VS 101 VS 165
40;104 VS 103 VS 168
41;107 VS 106 VS 173
42;109 VS 108 VS 176
43;112 VS 111 VS 181
44;115 VS 114 VS 186
45;117 VS 116 VS 189
46;120 VS 119 VS 194
47;123 VS 122 VS 199
48;125 VS 124 VS 202
49;128 VS 127 VS 207
50;130 VS 129 VS 210
の値が
それぞれが決まるので
全ての自然数は
この3グループに完全に振り分けられていきます。

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GAI様へ ^^

早速にありがとうございます。
問題文
>いずれかの2グループから、それぞれ1つずつ数を選ぶ。それらの数から
を
「いずれかの2グループから、それぞれ1つずつ数を選ぶ。それらの数の和から」

のつもりでした... ^^;

その場合ではどうなのでしょう?

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> 思いついたのは...
> (2進法で1が偶数桁だけ),(2進法で1が奇数桁だけの奇数),(それ以外の数)
>
> ですが...合ってますかしらん?

これは例えば
2進法で1が偶数桁だけ: 10100010(2)
2進法で1が奇数桁だけの奇数: 1000001(2)
それ以外の数: 2進法で1が奇数桁だけの偶数と偶数桁奇数桁の両方に1がある数
という意味でしょうか?
もしそうだとしたら
1001(2)=9(10)という和があったときに
第1グループと第2グループの和: 1000(2)+1(2)=1001(2)
第1グループと第3グループの和: 10(2)+111(2)=1001(2)
のどちらなのか区別がつかないと思います。
解釈が違っていたらごめんなさい。

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らすかる様へ

考えてくださってありがとうございます Orz
偶数桁だけが1の数:10, 1010,101010,...
奇数桁だけが1の数:1,101,10101,1010101,...
のつもりでした ^^;...

ちなみに、
ある方から、{1,n,その他の数}
の3グループに分けても可能と教えていただきました...

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なるほど。
そうだとしても
1111(2)=15(10)という和があったときに
第1グループと第2グループの和: 1010(2)+101(2)=1111(2)
第2グループと第3グループの和: 1(2)+1110(2)=1111(2)
のどちらなのか区別がつかないと思います。

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らすかる様へ

そっか...!!
浅はかでした ^^;
ありがとうございました Orz〜☆

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1,2,3をどのグループに入れるかを場合分けして細かく調べることにより、
条件を満たす分け方は
「mod3で分ける」
「1とnとその他に分ける」
の2通りしかないことが証明できました。
証明は長くなりますのでとりあえず省略します。

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らすかる様へ
面白いですね ^^

どのように証明できるのか分かりませんが ^^;

一般に、mod (m: 3以上の奇数) でグループ分け(mグループ)すれば、すべてのグループからの和は mod mで0になるので、
mグループに分けて、m-1グループから取り出した和≡r (mod m) なら、取り出さなかったグループはm-rのグループとわかり、
mod(m: 4以上の偶数)でグループ分けすれば、全てのグループからの和は mod mで m/2 のなるので、取り出さなかったグループはm/2-rのグループとわかるので、一般化できますね。

また、1,n,その他も...
k,n,その他でも、全部の和がn(n+1)/2 なので、2グループの和を引いたものがk or n以外なら、その他とわかるので可能ですね。
同様に、mグループの時も...
例えば...
1,2,...,(m-2),n,その他
に分けていれば、全体の和が一定なので同じことが言えるので、一般化できますね。

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