地球注連縄
よく地球の赤道上をひもで巻き付け、その長さに1(m)の長さのひもを継ぎ足して
再び赤道に巻き付けたとすると、どれだけの隙間を一周全体で空けることが出来るか？
の問いに対して
赤道半径をRとして
2*π*R+1=2*π*(R+x)から
x=1/(2*π)=0.159154･･･
で約16(cm)
と驚かされた。(Rの値には依存しない!)
そこで同じ設定で巻き付けたひもを一方に可能な限り引っ張りよせ、巻き付けた部分以外はピンと
ひもを張って、なるだけ空高い部分でひもを結ぶ様子を想像して欲しい。
さてこの様にして1(m)伸ばしたひもを赤道上でこの様に再び貼り付けて行ったとすると、
ひもはどれだけ地上より高い位置に上げることが可能か？
但し地球は完全楕円体とし赤道半径は6378137(m)とする。（Wikipediaより)
巻きつきが地面から離れる 2 点をそれぞれ地球中心と結んだとき、その間にできる角度を 2θ とおきます。
条件より
2Rtanθ + R(2π-2θ) = 2πR + 1
つまり
2tanθ - 2θ = 1/R
θ が微小だと思えば tanθ は
tanθ ≒ θ + (1/3)θ^3
と近似できるので、
(2/3)θ^3 = 1/R
よって、求める高さは
R(1/cosθ-1) ≒ (1/2)Rθ^2 = (3/4)*(2R/3)^(1/3)
実際の値とは異なりますが、計算しやすい R≒6144000 だと 120 m なので、それよりもうちょっと高いくらいですかね。
感覚的に 1km くらい行くかと思ってたのに意外と低い……。
計算ミスってないですよね？
2tanθ - 2θ = 1/R
辺りをコンピュータ等の利用で、θを探すと
θ=0,00617253･･･(rad)
辺りでこれから
最大121.56060･･･(m)
程度になりました。
私の印象ではこんなにも高くなるんかい！
の方での驚きでした。
DD++さんは逆なんですね。
直線と曲線はやっぱり違う性質を持っているんだな～（当たり前と言えば当たり前か？）
なおこの角度でR*θ=39369(m)なので
最高になる地点から約40ｋｍ東西でひもは地面から離れ始めることになる構造です。
全体を浮かせる場合は球が大きいと不利そう（実際はそうでもない）なのに対し、
一箇所だけ引っ張って浮かせるなら球は大きければ大きいだけ有利なのが明らかですからねえ。
