面積計算27
高校数学範囲で、以下より速い解法（特に、式をこねくり回さない初等幾何的解法）はあるんでしょうか？
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凸四角形のみ考えればいいことは明らかです。
∠D の大きさを変数 θ とおきます。
凸四角形のみ考えているので、0 < θ < π です。
∠B の大きさを変数 φ とおきます。
こちらは辺の長さの都合で「0 < φ < π よりは狭いある範囲」を動きます。
余弦定理で AC^2 を 2 通りに表すことにより、
3^2 + 5^2 - 2*3*5*cosθ = 10^2 + 12^2 - 2*10*12*cosφ
すなわち
34 - 30cosθ = 244 - 240cosφ
より
cosθ + 7 = 8cosφ …… (A)
「0 < φ < π よりは狭いある範囲」では cosφ は狭義単調減少関数なので、θ を決めれば φ が 1 つに決まる、
つまり φ は θ の関数とみなすことができます。
(A) 式を θ で微分すると、
-sinθ = -8sinφ*(dφ/dθ)
つまり、
dφ/dθ = (1/8)*(sinθ/sinφ)
と導関数が得られます。
また、sinθ > 0, sinφ > 0 であることから φ は θ の単調増加関数であることがわかります。
四角形の面積 S を考えます。
S = (1/2)*3*5*sinθ + (1/2)*10*12*sinφ
= (15/2)sinθ + 60sinφ
なので、
dS/dθ = (15/2)cosθ + 60cosφ*(dφ/dθ)
= (15/2)cosθ + (15/2)cosφ*(sinθ/sinφ)
= (15/2)*sin(θ+φ)/sinφ
sinφ > 0 であることから、
θ+φ ≦ π となる範囲では S は単調増加、
θ+φ ≧ π となる範囲では S は単調減少です。
これと φ が θ の単調増加関数であることを合わせて考えると、
θ+φ = π となるときが S が最大になるときです。
そのとき (A) 式から cosθ = -7/9, cosφ = 56/9
よって sinθ = sinφ = 4√2/9 なので
S = (15/2)*(4√2/9) + 60*(4√2/9) = 30√2
初等幾何的でもないし速くもないですが、とりあえず三角関数を使わない解法です。
BD^2=xとおくと、
> 3辺の長さの2乗がp,q,rである三角形の面積は
> (1/4)√{2(pq+qr+rp)-(p^2+q^2+r^2)}
というヘロンの公式の亜種により
4△ABD=√{2(1296+153x)-(81+20736+x^2)}=√{(x-81)(225-x)}
4△BCD=√{2(2500+125x)-(625+10000+x^2)}=√{(x-25)(225-x)}
4S=4(△ABD+△BCD)=√{(x-81)(225-x)}+√{(x-25)(225-x)}
{4S}'=(306-2x)/{2√{(x-81)(225-x)}}+(250-2x)/{2√{(x-25)(225-x)}}
={(306-2x)√(x-25)+(250-2x)√(x-81)}/{2√{(x-25)(x-81)(225-x)}}
={(153-x)√(x-25)+(125-x)√(x-81)}/√{(x-25)(x-81)(225-x)}
(153-x)√(x-25)+(125-x)√(x-81)=0とすると
(153-x)√(x-25)=-(125-x)√(x-81)
(x-25)(153-x)^2=(x-81)(x-125)^2
(x-25)(x^2-306x+23409)=(x-81)(x^2-250x+15625)
x^3-331x^2+31059x-585225=x^3-331x^2+35875x-1265625
4816x=680400
∴43x=6075
よって面積の最大値は
S=(1/4){√{(x-81)(225-x)}+√{(x-25)(225-x)}}
=(√(225-x)/4){√(x-81)+√(x-25)}
={√(225*43-43x)/(4*43)}{√(43x-43*81)+√(43x-43*25)}
={√(9675-6075)/(4*43)}{√(6075-3483)+√(6075-1075)}
={√3600/(4*43)}{√2592+√5000}
={60/(4*43)}(√2){√1296+√2500}
={30/(2*43)}(√2)(36+50)
=(30/86)(√2)*86
=30√2
DD++さんの計算結果からABCDは円に内接することから
A(-6,0),B(6,0)とx軸上にとり、中点を原点としy軸の正の方向にCをとると
C(-16/9,40/9*sqrt(2)), D(-237/43,90/43*sqrt(2))
これより4点を通る円の方程式が
x^2+(y-3/8*sqrt(2))^2=(3/4*sqrt(129/2))^2
となりました。
ブレートシュナイダーの公式で示される四辺形の面積をぐっと睨むと、面積が最大になるのは、公式中の cos() に引き渡される変数の値が π/2 になるときとわかります。
この場合に四辺形は円に内接します。
この四辺形の面積はブラーマグプタの公式で求められます。
ということに？
ブレートシュナイダーの公式そのものは高校範囲ではなく、
じゃあ高校範囲の知識でブレートシュナイダーの公式の証明を書くかというと、多分私の解法より長くなりそうな気がします。
あと、ブラーマグプタは何のために持ち出されているんでしょう？
持ち出すことに何の意味もないような？
DD++さん。
まさしくおっしゃる通りですね。
高校数学のシバリを失念しておりました。
なお、ブラーマグプタについては
GAIさんが「ABCDは円に内接する」と書いておいででしてそのことが私の頭に反響しておりました。ならばブラーマグプタで面積が出ると。
ならばブラーマグプタでは処理できないときのブレートシュナイダーの公式から、【最大】が得られてもよいだろうとの
逆算の発想です。舞台裏はこんなところなのでした。
