1/sin10° = √3 tan70° + 1
「筑駒、恐るべし」の記事の等式、私も以前考えたことがあって、もっとシンプルな証明を見つけていますので投稿します。
頂角 A = 20° の二等辺三角形 ABC を考え、BC = 2 とします。
辺 AB 上に ∠BCD = 20° となるように点 D をとり、辺 AC 上に CE = 1 となるように点 E をとります。
△CBD も頂角 20° の二等辺三角形なので、CD = 2 です。
すると、△CDE は長さ 1 と 2 の辺の間が 60° という三角形なので、
これは直角三角形であり、AC⊥DE, DE = √3, ∠CDE = 30° が得られます。
したがって、∠ADE = 70° より AC = AE + CE = √3 tan70° + 1 となります。
一方、二等辺三角形 ABC そのものに注目すれば、AC = 1/sin10° であることは明らかです。
よって示されました。
鮮やかですね！D、Eの設定が神がかっています。良いものを見させていただきました。
ちなみに、頂角を 20° ではなく 2θ にとると、
2sin(3θ)+2cos(3θ)tan(90°-2θ)=1/sinθ
という一般化された式になります。
何かを考えたくてこの図を作った記憶があるんですが、一体何のためだったのか思い出せない悲しみ。
