😊出会いの泉😊

面積＝５０　ですか？

多分、模範解答じゃないと思いますが。

等脚台形ＡＢＣＤを４つ使ってＢＣを１辺とした正方形とＡＤを１辺とした正方形を作ります。
外側の正方形を反時計回りにＢＣＥＦ，内側の正方形を反時計回りにＡＤＧＨとしましょう。
ここで、ＤからＢＣに垂線を下ろしその足をＩとすると、△ＤＩＣは直角二等辺三角形より辺ＡＢの外側に移動させ、
点Ｉの行き先をＪとすると、四角形ＪＢＩＤは長方形になります。
また、ＡＨの延長とＦＥとの交点をＫ，ＨＧの延長とＥＣとの交点をＬとすると、四角形ＦＪＡＫ，四角形ＫＨＬＥ，四角形ＧＩＣＬは皆、長方形ＪＢＩＤと合同な長方形になり、対称性から四角形ＫＪＩＬは正方形になります。
ところで、ＢＡの延長とＣＤの延長との交点をＯとすると、Ｏは正方形ＢＣＥＦの中心で∠ＢＯＣ＝９０°
よって、∠ＡＯＣ＝９０°，∠ＯＣＡ＝３０°より△ＯＡＣは３０°，６０°，９０°の直角三角定規型。
よって、ＯＡ：ＡＣ＝１：２　よって、ＯＡ＝□ｃｍと置くと、ＡＣ＝２×□ｃｍ
また、ＪＩ＝ＡＣより、ＪＩ＝２×□ｃｍ
ところで、求めたいのは、台形ＡＢＣＤ＝長方形ＪＢＩＤ＝△ＪＤＩ×２より、
(正方形ＫＪＩＬ－正方形ＡＤＧＨ)÷４×２———☆　を求めれば良い。
よって、{(２×□)×(２×□)－１０×１０}÷４×２＝(４×□×□－１００)÷２———①
また、△ＯＡＤ＝□×□÷２，△ＯＡＤ＝１０×１０÷４＝２５ｃｍ^2より、□×□＝５０ｃｍ^2———②
②を①に代入すると、答えは、(４×５０－１００)÷２＝５０ｃｍ^2

模範解答はエレガントなのでしょうね。模範解答に期待しています。

皆さんありがとうございます、答えは50cm^2で合っております。
壊れた扉さんの解法は算数で求まる部分と求まらない部分を寄り分けていくような感じなので、ある意味で本質的な解き方ですね・・・！

算数的解法はいくつか思いつきましたが、今のところその中で一番綺麗なのを投稿します。
手応え的にはもっと綺麗な解法も眠ってそうな感じがしますが。


辺 BC 上に ∠DAE = 30° となるように点 E をとると、EC = AE = 2*台形の高さ であることから、点 E は実は BE = 10 cm となる点になっています。
よって、△ABE と△ADC の面積は等しいことがわかります。

したがって、台形 ABCD の面積は「△ABE 2 つと△AEC の面積の合計」を出せばいいことになります。
ところで、これら 3 つの三角形を並べ替えれば底辺と高さがともに 10 cm の直角二等辺三角形になります。
つまり、その面積の合計は 10*10*(1/2) = 50 cm^2 です。

DD++さんの解法素晴らしいですね。一応、解説させて下さい。

＞辺 BC 上に ∠DAE = 30° となるように点 E をとると、EC = AE = 2*台形の高さ であることから、点 E は実は BE = 10 cm となる点になっています。

∠ＥＡＣ＝３０°－１５°＝１５°，∠ＥＣＡ＝１５°より△ＥＡＣは底角が１５°の二等辺三角形。よって、ＡＥ＝ＣＥ
また、ＥからＡＤに垂線を下ろしその足をＨ，ＤからＥＣに垂線を下ろしその足をＩとすると、△ＡＥＨは３０°，６０°，９０°の直角三角定規型より、ＥＨ：ＡＥ＝１：２　よって、ＥＨ：ＣＥ＝１：２　よって、ＤＩ：ＣＥ＝１：２，∠ＤＣＩ＝４５°，ＤＩ⊥ＥＣより△ＤＥＣは直角二等辺三角形である。（厳密には、△ＤＩＣが直角二等辺三角形よりＤＩ＝ＣＩでＤＩ：ＣＥ＝１：２よりＤＩ＝ＥＩ　また、∠ＤＩＥ＝９０°より△ＤＩＥも直角二等辺三角形だから。）
よって、∠ＤＥＣ＝４５°，∠ＡＢＣ＝４５°よりＡＢ//ＤＥ　また、ＡＤ//ＢＥより四角形ＡＢＥＤは平行四辺形である。
よって、ＢＥ＝ＡＤ＝１０ｃｍ

＞よって、△ABE と△ADC の面積は等しいことがわかります。
したがって、台形 ABCD の面積は「△ABE 2 つと△AEC の面積の合計」を出せばいいことになります。
ところで、これら 3 つの三角形を並べ替えれば底辺と高さがともに 10 cm の直角二等辺三角形になります。

ＥからＢＣに対して垂線を立て、ＢＡの延長との交点をＦとすると△ＥＢＦは直角二等辺三角形で、ＢＦ上にＦＧ＝ＢＡとなる点Ｇを取ると、△ＡＢＥと△ＧＦＥは合同。また、錯角より∠ＡＥＢ＝∠ＥＡＤ＝３０°，∠ＡＢＥ＝４５°より、∠ＥＡＧ＝３０°＋４５°＝７５°よって、対称性より△ＥＡＧは頂角が３０°の二等辺三角形になる。ここで、△ＥＡＣは底角が１５°の二等辺三角形より半分に切って組み直すと、△ＥＡＧの所にぴったりとはまる。よって、台形ＡＢＣＤを△ＡＢＥ＝△ＣＡＤと△ＥＡＣに分けて等積変形すると△ＥＢＦと等積になり、△ＥＢＦは等辺が１０ｃｍの直角二等辺三角形より、１０×１０÷２＝５０ｃｍ^2
よって、答えは、５０ｃｍ^2

後半、なんか謎の迷走を始めてますが大丈夫でしょうか？

「これら 3 つの三角形を並べ替えれば底辺と高さがともに 10 cm の直角二等辺三角形になります。」
は文字通りの操作でしかなく、謎の等積変形だのさらなる切断だのは不要ですよ。

因みに、「辺 BC 上に ∠DAE = 30° となるように点 E をとる」代わりに、DからABと平行な直線を引いて点Eを定めても出来ますが、かなり面倒臭いですね。

本当にできますか？
AB//DE から ∠DAE = 30° を導くことはおそらく不可能だろうと私は思っていますが。

ええ、平行四辺形ＡＢＥＤを作った後にＢＤを１辺とした正三角形ＦＢＤを頂点ＦがＢＤに関して点Ａ側に作り、ＡＥとＢＤの交点をＧとしてＦＧを結ぶと工夫次第で∠ＢＡＯ＝１０５°と求まるので、∠ＥＡＣ＝∠ＥＣＡ＝１５°と求まります。
ただし、上にも書きましたが、ちょっと面倒臭いので実戦向きではありません。

＞算数的解法はいくつか思いつきましたが、今のところその中で一番綺麗なのを投稿します。
手応え的にはもっと綺麗な解法も眠ってそうな感じがしますが。

凄いですよね。

> AB//DE から ∠DAE = 30° を導く
「∠ABD=15°、∠DBC=30°、∠BCA=90°、∠ACD=45°である四角形ABCDにおいて∠ADBを求める」
というラングレーの問題になりますので、何らかのうまい解法はあると思います。
（算数の範囲で解けるかどうかはわかりませんが）
うまくない天下り的解法でよけれぱ、以下のようにはできます。
中心がOの円に内接する正十二角形ABCDEFGHIJKLにおいて直線BFと直線LHの距離は円の半径に等しいので、
OAの垂直二等分線とBF,LHの交点を順にM,Nとすると四角形AMONは正方形。
そして三角形ACOは正三角形なので、
四角形BCMAは上記のラングレーの問題の四角形ABCDの図と等しく、答えは15°。

らすかるさん、ありがとうございます。
四角形BCMAが本題の図の四角形ECDAに当たり、∠EACが１５°（らすかるさんの図では∠BAC）になるという訳ですね。
うっかり、私の方も算数という事を忘れていたので、算数に修正しました。

なるほど、頑張ればできなくはないのですね。
とはいえ、最初から ∠DAE = 30° で引けば補助線は AE だけか、丁寧にやるにしても下底への垂線 AH とあわせて 2 本だけで済むわけで、平行線からスタートする方は結局無意味にややこしさを増してるだけな印象です。

ええ、その後、

＞因みに、「辺 BC 上に ∠DAE = 30° となるように点 E をとる」代わりに、DからABと平行な直線を引いて点Eを定めても出来ますが、かなり面倒臭いですね。

ＢＥを１辺とした正三角形を描いても出来る事が判明しましたが、それも面倒臭いだけですね。まぁ、それが面白いんですが。笑

ようやく問題の作為解答っぽいものを見つけました。
ただの台形ではなく等脚台形とわざわざ書いてあることにもっと注目するべきでした。


この四角形を AC で切断し、△ADC を裏返して、再び AC に逆向きに接合します。
すると、AB = AE, ∠ABC = 45°, ∠BAE = 150°, ∠AEC = 135°, ∠BCE = 30° の四角形 ABCE ができます。

これを今度は BE で切断すると 2 つの二等辺三角形ができます。
さらにそれらをそれぞれ対称に真っ二つにすると、結局この図形は
・斜辺が 10 cm、高さが 5 cm、底角 30° の直角三角形
・高さが 5 cm、底角 75° の直角三角形
が 2 枚ずつになります。

ところで、これら 1 枚ずつを高さ同士が背合わせになるように貼り合わせると、
底辺 10 cm、高さ 5 cm の二等辺三角形になるので、その面積は 10*5*(1/2) = 25 cm^2
よって元の台形の面積はその倍で 50 cm^2

さすが、DD++さん見事ですね。
ＡＣで切って組み換えるのはたまに見る手法ですが、最後の所の２つの三角形を１つの二等辺三角形にする所は脱帽です。

前回の解答も今回ぐらい分かり易ければわざわざ解説しなかったんですけどね。

前回のも、ほとんどが私はやってない計算を勝手に壊れた扉さんが付け足しまくってややこしくしただけですよ？

問題
等脚台形ABCDがあり、AD//BCである
∠ABC＝∠DCB＝45°
∠ACB＝15°
∠ACD＝30°
AD＝10cm
四角形ABCDの面積は？

算数の解法２
ＢＡの延長とＣＤの延長との交点をＥとすると、△ＥＡＤと△ＥＢＣは相似で共に直角二等辺三角形になり、∠ＢＥＣ＝９０°
また、∠ＡＣＥ＝３０°
よって、△ＣＡＥは３０°，６０°，９０°の直角三角定規型で、ＥからＡＣに垂線を下ろしその足をＨとすると、△ＥＡＨと△ＣＥＨも３０°，６０°，９０°の直角三角定規型になる。
よって、ＡＨ＝①とすると、ＡＥ＝②，ＡＣ＝④より、ＣＨ＝④－①＝③　よって、ＡＨ：ＣＨ＝１：３
よって、△ＥＡＨ：△ＥＣＨ＝１：３　よって、△ＥＡＨ：△ＣＥＨ＝１：３で△ＥＡＨと△ＣＥＨは相似より、
ＡＥ×ＡＥ：ＥＣ×ＥＣ＝１：３
ところで、△ＥＡＤと△ＥＢＣも相似で、△ＥＡＤ：△ＥＢＣ＝ＥＡ×ＥＡ：ＥＣ×ＥＣ＝１：３
また、△ＥＡＤは斜辺が１０ｃｍの直角二等辺三角形より、△ＥＡＤ＝１０×５÷２＝２５ｃｍ^2
よって、△ＥＢＣ＝２５×３＝７５ｃｍ^2　よって、台形ＡＢＣＤ＝７５－２５＝５０ｃｍ^2

＞皆さんありがとうございます、答えは50cm^2で合っております。
壊れた扉さんの解法は算数で求まる部分と求まらない部分を寄り分けていくような感じなので、ある意味で本質的な解き方ですね・・・！

返信が遅れてすみませんでした。ありがとうございます。

なんか私の以前の解答に勝手に嘘解説つけた上で難癖つけてくる人がいるので、他の人が騙されないよう、もう一回ちゃんと書いておきます。

以下が前回の解答の計算全部です。
No.1701 の自称「解説」はてんで的外れな計算を勝手に付け足し、それがさも重要であるかのように嘯いているだけです。
ご注意ください。


辺 BC 上に ∠DAE = 30° となるように点 E をとります。
平行線の錯角が等しいことから ∠DAC = 15° なので、∠EAC = 30° - 15° = 15° です。
したがって、△EAC は二等辺三角形であり、EC = EA であることがわかります。

また、点 A から返 BC に垂線 AH を下ろします。
∠EAH は 90° から ∠DAC を引いた残りなので、∠EAH = 90° - 30° = 60°
よって、△EAH は内角が 90°, 60°, 30° の直角三角形であることがわかり、AE は AH の倍の長さであることがわかります。
したがって、EC は台形の高さ 2 つ分の長さであることがわかります。

この台形は底角 45° の等脚台形なので下底は上底よりも台形の高さ 2 つ分長く、BE はその下底よりも　EC すなわち台形の高さ 2 つ分短いので、
BE は上底の長さと等しい 10 cm であることがわかります。

ここで、△ABE と △ADC に注目すると、どちらも底辺 10 cm で、高さは台形と共通です。
すなわち、この 2 つの三角形は等しい面積です。
よって、
台形の面積 = △ABE + △EAC + △ADC = △ABE*2 + △EAC
を求めればいいことになります。

ところで、△ABE 2 つを AB 同士張り合わせてブーメラン型にすると、
凹んでいる部分は頂角 150° で等辺が AE である二等辺三角形すなわち △EAC の形になります。

よって、△ABE*2 + △EAC は等辺 10 cm の直角二等辺三角形の面積に等しく、10*10*(1/2) = 50 cm^2 です。
したがって、元々の台形の面積も 50 cm^2 です。


## 今回は省略もしていませんので、勝手に変な計算を足さないでください。

ようやく意図が分かりました。
念のため、邪魔をしている訳ではありません。

ご返信が遅くなりました。
DD++さんの解き方は面白いですね！！最後にうまく直角二等辺三角形を作るのが美しいですね・・・！

少し脇道にそれますが、途中で出てきた「∠ABD=15°、∠DBC=30°、∠BCA=90°、∠ACD=45°である四角形ABCDにおいて∠ADBを求める」という問題は、1995年算数オリンピックトライアルで設定されている角度の場所は違いますが同じ図形で問題が出ています。
簡単に解くならこんな感じですかね・・・？
辺ACを1辺とする正三角形を点Bの反対側に作り、頂点をEと置く。
∠BDC＝∠DCE=15°なので、BD//CE。…①
また、BC＝AC＝ECであることから、△BCEは二等辺三角形で、∠CEB＝15°
よって、∠DBE＝30°ー15°＝15°
∠DBE＝∠BDC＝15°であることと①より、四角形BCEDは等脚台形なので、∠BCE＝∠DEC＝105°、BC＝DE。
もろもろ計算すると△AEDが直角二等辺三角形であることがわかり、AB＝ADとなって全部の角度が求まります。