111111111……
p を素数とする. p の倍数であって, 全ての位の数が 1 であるようなものが存在しないような p を全て
求めてください.
確実に、「ｐ＝２やｐ＝５」はありますよね！ｐ＝３は、３×３７＝１１１で駄目だし、ｐ＝７は
７×３×１１×１３×３７＝１１１１１１で駄目。ｐ＝１１は、１１×１０１＝１１１１で駄目、ｐ＝１３は、
１３×７×３×１１×３７＝１１１１１１で駄目。・・・
果たして「ｐ＝２やｐ＝５」以外に存在するのかな？
条件を満たすのはp=2,5だけですね。
p=3のとき3×37=111
pが2,3,5以外のとき
1/pが純循環小数になることから、循環桁数をn、循環節1周期分の値をNとすれば1/p=N/(10^n-1)
Np=10^n-1
右辺は9で割り切れますが、pは3で割り切れませんので
Nが9で割り切れ、
(N/9)p=(10^n-1)/9
この右辺は111…11ですから、pをN/9倍すれば111…11になることがわかります。
例えば
p=7ならば1/p=0.142857142857…で142857/9=15873なので7×15873=111111
p=23ならば1/p=0.04347826086956521739130434782608695652173913…
で434782608695652173913/9=48309178743961352657なので
23×48309178743961352657=1111111111111111111111
のようになります。
