天才の世界
3乗根[3]√で表せる数値に関しラマヌジャンが
(1) [3]√([3]√2 - 1) = [3]√(1/9) - [3]√(2/9) + [3]√(4/9)
(2) √([3]√5 - [3]√4) = ([3]√2 + [3]√20 - [3]√25)/3
の等式を記しているとの記事で読み計算ソフトで確かめると
正しくピタリと右辺=左辺 の計算が一致するではないか！
gp > sqrtn(sqrtn(2,3)-1,3)
%233 = 0.63818582086064415301550365944406770127
gp > sqrtn(1/9,3)-sqrtn(2/9,3)+sqrtn(4/9,3)
%234 = 0.63818582086064415301550365944406770127
gp > sqrt(sqrtn(5,3)-sqrtn(4,3))
%235 = 0.35010697609230455692617090560659825895
gp > 1/3*(sqrtn(2,3)+sqrtn(20,3)-sqrtn(25,3))
%236 = 0.35010697609230455692617090560659825895
これが成立することを論理的に示すにはどうしたらいいんでしょうか？
見る限り3乗根での等式の姿は思ってもない形で繋がってしまうんですね。
類した等式を思いつけますかね？
(1)
1+t+t^2=(t^3-1)/(t-1)でt=[3]√2とおくと
1+[3]√2+[3]√4=1/([3]√2-1)
また
1-t+t^2=(t^3+1)/(t+1)でt=[3]√2とおくと
1-[3]√2+[3]√4=3/([3]√2+1)
よって
{1-[3]√2+[3]√4}^3={3/([3]√2+1)}^3=27/(2+3[3]√4+3[3]√2+1)
=9/(1+[3]√2+[3]√4)=9([3]√2-1)
なので
[3]√(1/9)-[3]√(2/9)+[3]√(4/9)=[3]√([3]√2-1)
(2)
a=[3]√2, b=[3]√5とおくと
[3]√2+[3]√20-[3]√25=a+a^2b-b^2
(a+a^2b-b^2)^2
=a^2+a^4b^2+b^4+2a^3b-2ab^2-2a^2b^3
=a^2+2ab^2+5b+4b-2ab^2-10a^2
=9b-9a^2
=9([3]√5-[3]√4)
なので
([3]√2+[3]√20-[3]√25)/3=√([3]√5-[3]√4)
( A*x^2 + B*x*y + C*y^2 )^3 の A, B, C を適当に決めたものを用意します。
例として、( x^2 - x*y + y^2 )^3 でやります。
まず、展開します。
x^6 - 3*x^5*y + 6*x^4*y^2 - 7*x^3*y^3 + 6*x^2*y^4 - 3*x*y^5 + y^6
指数を 3 で割ったあまりが等しいものをまとめます。
( x^6 - 7*x^3*y^3 + y^6 ) + x^2*y*( - 3*x^3 + 6*y^3 ) + x*y^2*( 6*x^3 - 3*y^3 )
どこかの ( ) 内が 0 になるように x^3 と y^3 の値を決め、全ての ( ) 内に代入します。
例として、x^2*y*( - 3*x^3 + 6*y^3 ) が 0 になるように、x^3 = 2, y^3 = 1 とします。
- 9 + 9*x*y^2
これで、
( x^2 - x*y + y^2 )^3 = - 9 + 9*x*y^2
ができましたので、
x^2 - x*y + y^2 = ( - 9 + 9*x*y^2 )^(1/3)
が得られました。
残った x, y にも三乗根の形で代入し、両辺 9^(1/3) で割れば、
[3]√([3]√2 - 1) = [3]√(1/9) - [3]√(2/9) + [3]√(4/9)
が得られます。
似たような方法で同様の式がいくらでも作れますね。
DD++さんのアドバイスにより
(x^2-2*x*y+y^2)^3の展開式から
[3]√(25/9) - [3]√(80/9) + [3]√(4/9) = [3]√(7*[3]√(20) - 19) の等式が発生
gp > sqrtn(25/9,3)-sqrtn(80/9,3)+sqrtn(4/9,3)
%45 = 0.097375599902564072029769441954982002773
gp > sqrtn(7*sqrtn(20,3)-19,3)
%47 = 0.097375599902564072029769441954982004339
------------------------------------------------
(x^2-3*x*y+y^2)^3の展開式から
- [3]√(100) + [3]√(810) - [3]√(9) = [3]√(1241 - 273*[3]√(90)) の等式が発生
gp > -sqrtn(100,3)+sqrtn(810,3)-sqrtn(9,3)
%52 = 2.6000248611968935936928541072898271257
gp > sqrtn(1241-273*sqrtn(90,3),3)
%53 = 2.6000248611968935936928541072898271256
-----------------------------------------------
(x^2-4*x*y+y^2)^3の展開式から
- [3]√(289/9) + 4*[3]√(68/9) - [3]√(16/9) = [3]√(631 - 91*[3]√(272)) の等式が発生
gp > -sqrtn(289/9,3)+4*sqrtn(68/9,3)-sqrtn(16/9,3)
%56 = 3.4591342953019819946599609819643520211
gp > sqrtn(631-91*sqrtn(272,3),3)
%55 = 3.4591342953019819946599609819643520211
天才になれたような感覚になりました。
