😊出会いの泉😊

1,4,9,16,…の隣接項の差が3,5,7,…で正の奇数は2個以下の平方数で表せますので
「ある数」が奇数ならそのまま2個以下で、偶数なら奇数の平方数を足すか引くかして奇数にすることで
結局3個以下で表せますね。

（追記）
奇数は2平方数の差で表せますが、統一的に3平方数の加減で表す式を作りました。
任意の整数n（負の数も含む）に対して
(5[n/2]+17)^2-(10[n/2]+15-3n)^2-(4n+8-5[n/2])^2=n
が成り立ちます（[　]はガウス記号）。
ガウス記号を使わずに
{(10n+63+5(-1)^n)/4}^2-{(4n+25+5(-1)^n)/2}^2-{(6n+37-5(-1)^n)/4}^2=n
のようにも表せますが、少し長くなります。
（各{　}内は整数になります）
第2項のカッコ内はn=-5のときだけ0、第3項のカッコ内はn=-7のときだけ0であり、
6^2-5^2-4^2=-5, 1^2-2^2-2^2=-7が成り立つことから、
「任意の整数は(自然数)^2-(自然数)^2-(自然数)^2の形で表せる」
ことが言えます。
※符号を反転することで(自然数)^2+(自然数)^2-(自然数)^2の形でも表せることになります。

本日の日付(西暦2024年3月20日) にあわせて。平方数マイナス平方数マイナス平方数で表記。

50600817^2 -40480655^2 -30360488^2

= 20240320

なるほど強い………

らすかるさん凄い

なるほど凄い。

投稿後に、ふと思いましたが。

50600817^2 -40480655^2 -30360488^2 = 20240320

これ、
5^2 -4^2 -3^2 = 0
のピタゴラスの三平方の定理を満たす、5,4,3
の組みをちょっとずらしている感じがしました。

> 5,4,3の組みをちょっとずらしている感じがしました。
式の作り方からして結果的にそうなります。
着想は
(am+b)^2-(cm+d)^2-(em+f)^2=2m or 2m+1
から
a^2-c^2-e^2=0
ab-cd-ef=1
b^2-d^2-f^2=0 or 1
という方程式を解くことです。
プログラムを作って探索すると
(5m+3)^2-(4m+2)^2-(3m+2)^2=2m+1
(5m+9)^2-(4m+8)^2-(3m+4)^2=2m+1
(5m+17)^2-(4m+12)^2-(3m+12)^2=2m+1
(5m+17)^2-(4m+15)^2-(3m+8)^2=2m
(5m+29)^2-(4m+21)^2-(3m+20)^2=2m
(5m+35)^2-(4m+30)^2-(3m+18)^2=2m+1
(13m+9)^2-(12m+8)^2-(5m+4)^2=2m+1
(13m+17)^2-(12m+15)^2-(5m+8)^2=2m
(13m+19)^2-(12m+18)^2-(5m+6)^2=2m+1
(13m+37)^2-(12m+35)^2-(5m+12)^2=2m
(17m+5)^2-(15m+4)^2-(8m+3)^2=2m
(17m+9)^2-(15m+8)^2-(8m+4)^2=2m+1
(17m+13)^2-(15m+12)^2-(8m+5)^2=2m
(17m+35)^2-(15m+30)^2-(8m+18)^2=2m+1
(25m+19)^2-(24m+18)^2-(7m+6)^2=2m+1
(25m+33)^2-(24m+32)^2-(7m+8)^2=2m+1
(25m+37)^2-(24m+35)^2-(7m+12)^2=2m
(29m+5)^2-(21m+4)^2-(20m+3)^2=2m
(29m+17)^2-(21m+12)^2-(20m+12)^2=2m+1
(37m+13)^2-(35m+12)^2-(12m+5)^2=2m
(37m+19)^2-(35m+18)^2-(12m+6)^2=2m+1
(37m+25)^2-(35m+24)^2-(12m+7)^2=2m
(41m+33)^2-(40m+32)^2-(9m+8)^2=2m+1
のようにたくさん見つかりますが、上に書いた式は最も簡単な
(5m+17)^2-(4m+12)^2-(3m+12)^2=2m+1
(5m+17)^2-(4m+15)^2-(3m+8)^2=2m
の二つをnの偶奇どちらでも成り立つように
(5m+17)^2-(4m+27/2+(3/2)(-1)^n)-(3m+10-2(-1)^n)=n
のようにまとめ、mを[n/2]に、(-1)^nを4[n/2]-2n+1に置き換えて
整理したものなので、値は5：4：3に近くなります。
(13m+17)^2-(12m+15)^2-(5m+8)^2=2m
(13m+19)^2-(12m+18)^2-(5m+6)^2=2m+1
の二つをまとめて
(13m+18-(-1)^n)^2-(12m+33/2-(3/2)(-1)^n)^2-(5m+7+(-1)^n)^2=n
として整理した場合は
(9[n/2]+17+2n)^2-(6[n/2]+15+3n)^2-(9[n/2]+8-2n)^2=n
という式になり、これにn=20240320を代入すると
131562097^2-121441935^2-50600808^2=20240320
となって13：12：5に近くなります。

らすかるさん、素晴しい解説を有難うございます。