行列式の効用
2点A(x1,y1),B(x2,y2)
を通る直線の方程式を
y-y1=(y2-y1)/(x2-x1)*(x-x1)
で使う公式があるが、これを行列式を利用して
|x y 1|
|x1 y1 1|= 0
|x2 y2 1|
という形式にしておけば
3点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)を通る円の方程式は
|x^2 + y^2 x y 1|
|x1^2+y1^2 x1 y1 1|= 0
|x2^2+y2^2 x2 y2 1|
|x3^2+y3^2 x3 y3 1|
また空間でも
3点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3)を通る平面の方程式は
|x y z 1|
|x1 y1 z1 1|= 0
|x2 y2 z2 1|
|x3 y3 z3 1|
同じく
4点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3),D(x4,y4,z4)を通る球面の方程式は
|x^2 + y^2 + z^2 x y z 1|
|x1^2+y1^2+z1^2 x1 y1 z1 1|
|x2^2+y2^2+z2^2 x2 y2 z2 1|= 0
|x3^2+y3^2+z3^2 x3 y3 z3 1|
|x4^2+y4^2+z4^2 x4 y4 z4 1|
＊勿論半径を正の実数でとれるように4点は選ぶ必要はあります。
などで構成できるようです。
（幾つかで実験しただけで証明したわけではありませんが･･･)
5点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),E(x5,y5)を通る広義の二次曲線(※)の方程式は
|x^2 x*y y^2 x y 1|
|x1^2 x1*y1 y1^2 x1 y1 1|
|x2^2 x2*y2 y2^2 x2 y2 1| = 0
|x3^2 x3*y3 y3^2 x3 y3 1|
|x4^2 x4*y4 y4^2 x4 y4 1|
|x5^2 x5*y5 y5^2 x5 y5 1|
※広義の二次曲線…「非退化二次曲線(楕円・放物線・双曲線)」、「2直線」、「1点」、「1直線」
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垂心系をなさない4点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)を通る広義の直角双曲線(※※)の方程式は
|x^2 x*y y^2 x y 1|
|x1^2 x1*y1 y1^2 x1 y1 1|
|x2^2 x2*y2 y2^2 x2 y2 1| = 0
|x3^2 x3*y3 y3^2 x3 y3 1|
|x4^2 x4*y4 y4^2 x4 y4 1|
|1 0 1 0 0 0|
あるいは、式変形すれば、
|x^2-y^2 x*y x y 1|
|x1^2-y1^2 x1*y1 x1 y1 1|
|x2^2-y2^2 x2*y2 x2 y2 1| = 0
|x3^2-y3^2 x3*y3 x3 y3 1|
|x4^2-y4^2 x4*y4 x4 y4 1|
※※広義の直角双曲線…「狭義の直角双曲線(漸近線が直交する双曲線)」、「直交する2直線」、「1直線」
ちなみに、4点A,B,C,Dが垂心系をなす場合、上式の左辺は(x,y)に依らず恒等的に0になります。
これが意味するのは、任意の点が(4点を通る)広義の直角双曲線上にあるということです。
実際のところは、垂心系をなす4点を通る広義の直角双曲線が無数に存在し、この4点を除く任意の点はそれらのうちの1本の上にあります。
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GAIさんが載せた円の方程式も、次のように書けば二次曲線に条件付加されたものというのがわかりやすくなります。
ただこの式は行列式の展開と基本変形により簡単にGAIさんの式になるので、メリットはあまりありませんが……。
3点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)を通る広義の円(※※※)の方程式は
|x^2 x*y y^2 x y 1|
|x1^2 x1*y1 y1^2 x1 y1 1|
|x2^2 x2*y2 y2^2 x2 y2 1| = 0
|x3^2 x3*y3 y3^2 x3 y3 1|
|1 0 -1 0 0 0|
|0 1 0 0 0 0|
※※※広義の円…「狭義の円」、「1直線」
