😊出会いの泉😊

横線の立体交差はアリでしたか？

たとえば、
①左から１本目の縦線と３本目の縦線とのあいだに横線を１個つなげる、ただし、２本目の縦線とこの横線とは立体交差にする。

②横線どうしで立体交差をする。

特に立体交差のコメントは無かったので、通常のあみだの横線の引き方で考えるものだと思います。

https://manabitimes.jp/math/1157
によると
縦線5本、横線8本でのあみだくじの行き先の確率は
P5=
[3/4 1/4 0 0 0]

[1/4 1/2 1/4 0 0]

[ 0 1/4 1/2 1/4 0]

[ 0 0 1/4 1/2 1/4]

[ 0 0 0 1/4 3/4]
から

P5^8=
[12155/32768 19449/65536 12393/65536 1581/16384 765/16384]

[19449/65536 8627/32768 3345/16384 9129/65536 1581/16384]

[12393/65536 3345/16384 6995/32768 3345/16384 12393/65536]

[ 1581/16384 9129/65536 3345/16384 8627/32768 19449/65536]

[ 765/16384 1581/16384 12393/65536 19449/65536 12155/32768]

これを小数へ直し
=
[ 0.37094116 0.29676819 0.18910217 0.096496582 0.046691895]

[ 0.29676819 0.26327515 0.20416260 0.13929749 0.096496582]

[ 0.18910217 0.20416260 0.21347046 0.20416260 0.18910217]

[0.096496582 0.13929749 0.20416260 0.26327515 0.29676819]

[0.046691895 0.096496582 0.18910217 0.29676819 0.37094116]

となるんではないかと思うんであるが・・・？

そのサイトでは横線の引き方がm^n通りと言っていますので、確率分布が違うのではないでしょうか。
例えば
│□□│□□│□□│
├──┤□□│□□│
│□□│□□├──┤
│□□├──┤□□│
│□□│□□│□□│
と
│□□│□□│□□│
│□□│□□├──┤
├──┤□□│□□│
│□□├──┤□□│
│□□│□□│□□│
を別のものと考えているのでは？

# 全部きちんと読んだわけではありませんので、
# もしとんちんかんなことを言っていたらご容赦下さい。

ツイッター検索で調べたら
チコちゃんの番組であみだくじについて解説した先生が岩手大学の理工学部の山中克久教授であるとわかりました。
OEIS のサイトでこの先生の名前で検索したらヒットしました。
https://oeis.org/A006245
A006245 の参考文献に以下があげられていました。

ひとつめ
Katsuhisa Yamanaka, Takashi Horiyama, Takeaki Uno and Kunihiro Wasa, Ladder-Lottery Realization, 30th Canadian Conference on Computational Geometry (CCCG 2018) Winnipeg.

ふたつめ
K. Yamanaka, S. Nakano, Y. Matsui, R. Uehara and K. Nakada, Efficient enumeration of all ladder lotteries and its application, Theoretical Computer Science, Vol. 411, pp. 1714-1722, 2010.

なお
ladder lotteries とはアミダクジのことです。

9841通りの計算は
Σ[i=0～8]Σ[j=0～8-i](i+j)Cj×9C(i+j+1)=9841
という式で出せました。
iは2本目の縦線と3本目の縦線の間に描く横線の数、
jは3本目の縦線と4本目の縦線の間に描く横線の数、
(i+j)Cjは「2本目の縦線と3本目の縦線の間の横線」と
「3本目の縦線と4本目の縦線の間の横線」の位置関係の場合の数、
9C(i+j+1)は残りの8-i-j本の横線を「1本目の縦線と2本目の縦線の間」と
「4本目の縦線と5本目の縦線の間」に配置する場合の数です。

らすかるさん。凄いです。

この数値をはじき出す数式を見つけるなんてビックリです。
分析させて頂きました。
[i,j] [binomial(i+j,j)"*"binomial(9,8-(i+j))] [2つの積]
0,0 1*9 9
0,1 1*36 36
0,2 1*84 84
0,3 1*126 126
0,4 1*126 126
0,5 1*84 84
0,6 1*36 36
0,7 1*9 9
0,8 1*1 1
1,0 1*36 36
1,1 2*84 168
1,2 3*126 378
1,3 4*126 504
1,4 5*84 420
1,5 6*36 216
1,6 7*9 63
1,7 8*1 8
2,0 1*84 84
2,1 3*126 378
2,2 6*126 756
2,3 10*84 840
2,4 15*36 540
2,5 21*9 189
2,6 28*1 28
3,0 1*126 126
3,1 4*126 504
3,2 10*84 840
3,3 20*36 720
3,4 35*9 315
3,5 56*1 56
4,0 1*126 126
4,1 5*84 420
4,2 15*36 540
4,3 35*9 315
4,4 70*1 70
5,0 1*84 84
5,1 6*36 216
5,2 21*9 189
5,3 56*1 56
6,0 1*36 36
6,1 7*9 63
6,2 28*1 28
7,0 1*9 9
7,1 8*1 8
8,0 1*1 1

合計 9841

そこで
i,j=0,2 で　1*84=84
の解釈が
縦線2,3番目には0本,3,4番目には2本引かれているので
1,2と4,5間には合計6本の縦線がある。
そこで
1,2番間　;4,5番間
6 ;0
5 ;1
4 ;2
3 ;3
2 ;4
1 ;5
0 ;6
本の線がある場合に別れる。
ところで2,3番間にはi=0より上記の左の本数は何の制限もなく引くことが出来る。
一方j=2より既に3,4番間には2本の横棒が引かれている。
そこで上記の右の本数の横棒を引く位置はそれぞれ重複組合せから
3H0=1
3H1=3
3H2=6
3H3=10
3H4=15
3H5=21
3H6=28
これの合計が84となる。
なんとこれが一発で9C6=9C3=9*8*7/(3*2*1)=3*4*7=84なわけですね。

同じく
i,j=0,3 で1*126=126は
1,2番間　;4,5番間
5 ;0
4 ;1
3 ;2
2 ;3
1 ;4
0 ;5
上記の右の本数の横棒を引く位置はそれぞれ重複組合せから
4H0=1
4H1=4
4H2=10
4H3=20
4H4=35
4H5=56
この合計が126
同じく一発で9C5=9C4=9*8*7*6/(4*3*2*1)=126

こんな仕組みで計算されているんですね～

5本の縦線にn本の横線を引く場合、(3^(n+1)-1)/2 通りですか？

＞５本の縦線にn本の横線を引く場合、(3^(n+1)-1)/2 通りですか？

こんな明快な式になるとは？

ひょっとして最も左の縦線と最も右の縦線とを同一視して合計４本の縦線とみなすことによって全ての縦線について対称とするテクニックを使うということなのでしょうか？

((4-1)^(n+1)-1)/2

-1　のファクターの意味が取れませんが…… orz

(3^(n+1)-1)/2 通りの場合
n=3なら40となるが
別で調査すれば確かに40通りとなりますね。
例の
(i,j)=
(0,0)-->4
(0,1)-->6
(0,2)-->4
(0,3)-->1
(1,0)-->6
(1,1)-->8
(1,2)-->3
(2,0)-->4
(2,1)-->3
(3,0)-->1
で計40通り

何か縦線m本,横線n本のあみだくじでの一般式が作れそうですね。

一般式を作ろうと思っているが、縦線が奇数と偶数では構造が変わる様に
感じたので縦線が4本で横線がn本である場合のあみだくじの種類を調べてみたら、
n=1-->3
n=2-->8
n=3-->21
n=4-->55
n=5-->144
n=6-->377
ここまで調べて、この数字はなんか見たことあるぞ！
で検索するとフィボナッチ数列fibo(n)での
fibo(2*n+2)の部分が対応している。

なお
この各合計数は次の組合せ関数nCr(=binomial(n,r))を使うと
gp > T(n,k)=binomial(n+k,2*k-1);
gp > for(n=1,10,S=[];for(k=1,n+1,S=concat(S,[T(n,k)]));print(n"=>"S";"vecsum(S)))
1=>[2, 1];3
2=>[3, 4, 1];8
3=>[4, 10, 6, 1];21
4=>[5, 20, 21, 8, 1];55
5=>[6, 35, 56, 36, 10, 1];144
6=>[7, 56, 126, 120, 55, 12, 1];377
7=>[8, 84, 252, 330, 220, 78, 14, 1];987
8=>[9, 120, 462, 792, 715, 364, 105, 16, 1];2584
9=>[10, 165, 792, 1716, 2002, 1365, 560, 136, 18, 1];6765
10=>[11, 220, 1287, 3432, 5005, 4368, 2380, 816, 171, 20, 1];17711
で求めていることになっている。
しかし縦線が6本の場合は未調査なのでまだ何とも言えないですが･･･

縦線が m 本である場合、
「1 から m-1 までの数を重複を許して n 個並べる、ただし直前の数より 2 つ以上小さくなってはいけない」
の並べ方の総数と一致します。
なので、

縦線3本
[1,1] * [[1,1],[1,1]]^(n-1) * t[1,1] = 2^n


縦線4本
[1,1,1] * [[1,1,0],[1,1,1],[1,1,1]]^(n-1) * t[1,1,1] = 1/√5 * ( ((3+√5)/2)^(n+1) - ((3-√5)/2)^(n+1) )

縦線5本
[1,1,1,1] * [[1,1,0,0],[1,1,1,0],[1,1,1,1],[1,1,1,1]]^(n-1) * t [1,1,1,1] = (3^(n+1)-1)/2

と出せます。
縦線6本は固有値が綺麗に出ないので難しそう。

６本の縦線がある場合について横線がn本の場合の構成数について調べてみました。
n=1-->5
n=2-->11
n=3-->40
n=4-->145
n=5-->525
n=6-->1900
n=7-->6875
n=8-->24875

ここまででOEISのお世話になるとn=1を除いてA136775がヒットした。そこには
Number of multiplex juggling sequences of length n, base state <1,1> and hand capacity 2.
という分けがわからい説明が付けられていた。

ただしこの数値はらすかるさんが構成されているプログラムを参考にさせてもらい
F(n)=for(i=0,n,for(j=0,n-i,for(k=0,n-i-j,\
print(i","j","k"=>"binomial(i+j,j)"*"binomial(j+k,k)"*"binomial(n-1,n-(i+j+k))"=>"\
binomial(i+j,j)*binomial(j+k,k)*binomial(n-1,n-(i+j+k))))))
で
2,3番目の間にある横線の数をi
3,4番目の間にある横線の数をj
4,5番目の間にある横線の数をk本
として
その横線の取り方がbinomial(i+j,j)*binomial(j+k,k)で起こせて
残りの本数n-(i+j+k)を1,2番目と5,6番目の間に取れる場合の可能性がbinomial(n-1,n-(i+j+k))と
してやることで上手く働くことを観察してみた。
これをすべて掛け合わせることで、(i,j,k)に対するパターン数が求まっていくので、すべての総和から
n>=2での数値を求めて行きました。
n=6で1900となる経過が下の表です。(F(6)からの表示)
(i,j,k)
0,0,0= 1*1*0= 0
0,0,1= 1*1*1= 1
0,0,2= 1*1*5= 5
0,0,3= 1*1*10= 10
0,0,4= 1*1*10= 10
0,0,5= 1*1*5= 5
0,0,6= 1*1*1= 1
0,1,0= 1*1*1= 1
0,1,1= 1*2*5= 10
0,1,2= 1*3*10= 30
0,1,3= 1*4*10= 40
0,1,4= 1*5*5= 25
0,1,5= 1*6*1= 6
0,2,0= 1*1*5= 5
0,2,1= 1*3*10= 30
0,2,2= 1*6*10= 60
0,2,3= 1*10*5= 50
0,2,4= 1*15*1= 15
0,3,0= 1*1*10= 10
0,3,1= 1*4*10= 40
0,3,2= 1*10*5= 50
0,3,3= 1*20*1= 20
0,4,0= 1*1*10= 10
0,4,1= 1*5*5= 25
0,4,2= 1*15*1= 15
0,5,0= 1*1*5= 5
0,5,1= 1*6*1= 6
0,6,0= 1*1*1= 1
1,0,0= 1*1*1= 1
1,0,1= 1*1*5= 5
1,0,2= 1*1*10= 10
1,0,3= 1*1*10= 10
1,0,4= 1*1*5= 5
1,0,5= 1*1*1= 1
1,1,0= 2*1*5= 10
1,1,1= 2*2*10= 40
1,1,2= 2*3*10= 60
1,1,3= 2*4*5= 40
1,1,4= 2*5*1= 10
1,2,0= 3*1*10= 30
1,2,1= 3*3*10= 90
1,2,2= 3*6*5= 90
1,2,3= 3*10*1= 30
1,3,0= 4*1*10= 40
1,3,1= 4*4*5= 80
1,3,2= 4*10*1= 40
1,4,0= 5*1*5= 25
1,4,1= 5*5*1= 25
1,5,0= 6*1*1= 6
2,0,0= 1*1*5= 5
2,0,1= 1*1*10= 10
2,0,2= 1*1*10= 10
2,0,3= 1*1*5= 5
2,0,4= 1*1*1= 1
2,1,0= 3*1*10= 30
2,1,1= 3*2*10= 60
2,1,2= 3*3*5= 45
2,1,3= 3*4*1= 12
2,2,0= 6*1*10= 60
2,2,1= 6*3*5= 90
2,2,2= 6*6*1= 36
2,3,0= 10*1*5= 50
2,3,1= 10*4*1= 40
2,4,0= 15*1*1= 15
3,0,0= 1*1*10= 10
3,0,1= 1*1*10= 10
3,0,2= 1*1*5= 5
3,0,3= 1*1*1= 1
3,1,0= 4*1*10= 40
3,1,1= 4*2*5= 40
3,1,2= 4*3*1= 12
3,2,0= 10*1*5= 50
3,2,1= 10*3*1= 30
3,3,0= 20*1*1= 20
4,0,0= 1*1*10= 10
4,0,1= 1*1*5= 5
4,0,2= 1*1*1= 1
4,1,0= 5*1*5= 25
4,1,1= 5*2*1= 10
4,2,0= 15*1*1= 15
5,0,0= 1*1*5= 5
5,0,1= 1*1*1= 1
5,1,0= 6*1*1= 6
6,0,0= 1*1*1= 1

　合計 1900

はてこれは一つの式で作れるのか？

> 残りの本数n-(i+j+k)を1,2番目と5,6番目の間に取れる場合の可能性がbinomial(n-1,n-(i+j+k))
これは
binomial(n+1-j,n-(i+j+k))
にしないといけないと思います(中央に使ったj本は残り本数に影響しますが配置に影響しません)。
よってn=1,2,3,…に対する構成数は
5,19,66,221,728,2380,7753,25213,81927,…
のようになります。
（n=2を手作業で数えてみると、19で正しいことがわかると思います。）
そしてこの数列はA005021にあり、漸化式が
a[1]=5, a[2]=19, a[3]=66, a[n+3]=5a[n+2]-6a[n+1]+a[n]
と書かれていますので、これを解いて一般項は
a[n]=up^n+vq^n+wr^n
ただし
u={-(4√91)sin(arcsin(127√91/2366)/3)+7}/21
v={-(4√91)cos(arccos(-127√91/2366)/3)+7}/21
w={(4√91)cos(arccos(127√91/2366)/3)+7}/21
p={-(2√7)cos(arccos(-√7/14)/3)+5}/3
q={-(2√7)sin(arcsin(√7/14)/3)+5}/3
r={(2√7)cos(arccos(√7/14)/3)+5}/3
とわかります。
# u,v,wは49x^3-49x^2-105x+1=0の3解、p,q,rはx^3-5x^2+6x-1=0の3解です。

らすかるさんからの指摘を受けて改めて(数個のパターンでいいと勝手に思ってしまう悪い癖)
６本の縦線がある場合について横線がn本の場合の構成数について調べてみました。
n=1-->5
n=2-->19
n=3-->66
n=4-->221
n=5-->728
n=6-->2380
n=7-->7753
n=8-->25213

ここまででOEISのお世話になるとA005021がヒットした。

らすかるさんとn=3で違ったので
(i,j,k)
0,0,0= 1*1*4= 4
0,0,1= 1*1*6= 6
0,0,2= 1*1*4= 4
0,0,3= 1*1*1= 1
0,1,0= 1*1*3= 3
0,1,1= 1*2*3= 6
0,1,2= 1*3*1= 3
0,2,0= 1*1*2= 2
0,2,1= 1*3*1= 3
0,3,0= 1*1*1= 1
1,0,0= 1*1*6= 6
1,0,1= 1*1*4= 4
1,0,2= 1*1*1= 1
1,1,0= 2*1*3= 6
1,1,1= 2*2*1= 4
1,2,0= 3*1*1= 3
2,0,0= 1*1*4= 4
2,0,1= 1*1*1= 1
2,1,0= 3*1*1= 3
3,0,0= 1*1*1= 1

合計; 66
でチェックしてみたのですが、どうしても67にはなれないのですが・・・?
（あら！修正されたんですね。安心しました。）
A005021のコメントはRandom walksとなっているのでとても驚いています。