辞書式順序
2,3,5,7,11,13,17の7個の素数を辞書式に並べ直すと
11,13,17,2,3,5,7
となるのでこれを改めて
p1=11,p2=13,p3=17,p4=2,p5=3,p6=5,p7=7
と番号を振り付けると
全部で7個の素数ではp7=7
なる現象が発生する。
そこで
素数2から始め素数を全部でk個集め
それを辞書式順序にして番号を振り付け
p1,p2,･････,pk
とした時
pk=kなることが起こるｋをあと２つほど発見してほしい。
「あと２つ」が97と997で正しければ、その次は999…(9が139個)…9997つまり10^140-3かな？
（もしかしたらそれより小さいものがあるかも）
この3つを探した後はもう諦めていました。
どうして第4のとんでもないものを見つけられたのか？？？
もしかして
99999999999999997(=10^17-3)もいいのでしょうか？
999･･･････････････9997(=10^990-3)もありですか？
https://stdkmd.net/nrr/9/99997.htm#primeが参考になりました。
> "らすかる"さんが書かれました:
> 「あと２つ」が97と997で正しければ、その次は999…(9が138個)…9997つまり10^140-3かな？
> （もしかしたらそれより小さいものがあるかも）
これは
999…(9が139個)…9997でいいですよね？
すみません細かいことで
> 999…(9が139個)…9997でいいですよね？
おっしゃる通りです。単純に間違えました。
これは元記事を修正しました。
> 99999999999999997(=10^17-3)もいいのでしょうか？
それはNGです。
99999999999999997 番目の素数は
4185296581467695521 であり、
これ以下の素数で
999999999999999989
がありますので
99999999999999997は最後になりません。
999…(9が139個)…9997 (140桁) の場合は、
999…(9が139個)…9997 番目の素数は
32*********************** (143桁) という数であり、
999…(9が139個)…999 7x (141桁)
999…(9が139個)…999 8x (141桁)
999…(9が139個)…999 9x (141桁)
999…(9が139個)…999 7xx (142桁)
999…(9が139個)…999 8xx (142桁)
999…(9が139個)…999 9xx (142桁)
がすべて合成数であることが確認できたため、
999…(9が139個)…9997 は最後になり、条件を満たしています。
999･･･････････････9997(=10^990-3)の場合は、
999･･･････････････9997番目の素数が
約2.29×10^993であるため、
999･･･････････････9997x
999･･･････････････9998x
999･･･････････････9999x
999･･･････････････9997xx
999･･･････････････9998xx
999･･･････････････9999xx
999･･･････････････9997xxx
999･･･････････････9998xxx
999･･･････････････9999xxx
がすべて合成数であることが確認できればOKになりますが、
対象が結構多いので素数が含まれているのではないかという気がします。
「もしかしたらより小さいのがあるかも」というのは、
999･･････････991
などで条件を満たすものがもしあれば、という意味ですが、
末尾が1であるため確率的に低いと思い、未調査です。
これだけなら調査することはできますが、
n桁の最後が
999･･････････989 とか
999･･････････983 とか
999･･････････979
のような場合など考えると大変そうなので調査はやめました。
gp > for(i=70,99,if(isprime(10^2*(10^989-1)+i)==1,print1(10^2*(10^989-1)+i",")))
gp > for(i=700,999,if(isprime(10^3*(10^989-1)+i)==1,print1(10^3*(10^989-1)+i",")))
gp > for(i=7000,9999,if(isprime(10^4*(10^989-1)+i)==1,print1(10^4*(10^989-1)+i",")))
に対し何の反応も起きなかった。
一応下の989桁のものでもちゃんと素数と判定してくれる。
gp > isprime(10^990-3)
%53 = 1
即ち
10^990-3番目に出現する素数(994桁の2が頭にある素数)
より前にある素数で10^990-3より大きな素数は一個も存在しないと判定され、結局辞書式順序の最後に並ぶ。
よって求めるkの値として
10^140-3の次に10^990-3も認められる。
この判定でいいのでしょうか？
なお危なく次の素数が出現するも、10^990-3より前に辞書式順序では位置してくれるようです。
999･･･(9が989個)･･･999199
999･･･(9が989個)･･･999329
999･･･(9が989個)･･･9993893
そうですね、10^17-3で試すとちゃんと素数が表示されますので、問題ないと思います。
