😊出会いの泉😊

いくらでもありそうな感じですが、実際探索するといくらでもあります。
例えば
10+16+39=12+13+40=65
10*16*39=12*13*40=6240
100+108+119=102+105+120=327
100*108*119=102*105*120=1285200

らすかるさん、いつもありがとうございます。
３＋３＋１０＝２＋５＋９＝１６
３・３・１０＝２・５・９＝９０

３＋６＋８＝４＋４＋９＝１７
３・６・８＝４・４・９＝１４４

４＋１２＋５＝８＋３＋１０＝２１
４･１２・５＝８・３・１０＝２４０
どのように、求めたらいいのか分からなくて、
三ケタ、四ケタもあるんですね。
後、素因数が、２，３，５，７、１３、１７，がありますが、
１１も興味は尽きません。全ての素因数について、それを、含む
組もありそうですね。

４個組
１＋３＋４＋４＝２＋２＋２＋６＝１２
１･３・４・４＝２・２・２・６＝４８

５個組
１＋１＋３＋４＋４＝１＋２＋２＋２＋６＝１３
１・１・３・４・４＝１・２・２・２・６＝４８

1を足していけば、何個の組でも、作れそうですね。
両組に同じ数を使わない、と条件を変えればどうなるでしょうか？
6,7,8個の組も作れますか？

個数を、4個、から増やしていくことを、考えてみて、単純な解があり、条件を変えても、３個組と３個組を繋いでいけば、６個組ができるんですね。
５個組は、どうしたら、いいでしょうか？
果てしなく、続く問題ですが、難しくなります。
そうこうして、こんな、定理に出会いました。
素数の列で、等差になっているもの
長さ６のもの、7，37，67，97，127，157　等差が30

２００６年で、長さ26が最長
にも関わらず、Green-Tao　2004
素数のみから構成される任意の長さの等差数列が存在する。

具体的には見えないけれど、存在する。数学の力凄いです。

5個組は2個+3個でいいのでは？

> "ks"さんが書かれました:
> 素数の列で、等差になっているもの
> 長さ６のもの、7，37，67，97，127，157　等差が30

が面白かったので、その先を探してみた。
7個連続
[7, 157, 307, 457, 607, 757, 907]
[47, 257, 467, 677, 887, 1097, 1307]
[53, 1103, 2153, 3203, 4253, 5303, 6353]

8個連続
[61, 9931, 19801, 29671, 39541, 49411, 59281, 69151]
[73, 5953, 11833, 17713, 23593, 29473, 35353, 41233]
[103, 4723, 9343, 13963, 18583, 23203, 27823, 32443]
[199, 9439, 18679, 27919, 37159, 46399, 55639, 64879]

9個連続
[17, 6947, 13877, 20807, 27737, 34667, 41597, 48527, 55457]
[137, 8117, 16097, 24077, 32057, 40037, 48017, 55997, 63977]

10個連続
[199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879, 2089]
[443, 32783, 65123, 97463, 129803, 162143, 194483, 226823, 259163, 291503]

11個連続
[1619, 3413489, 6825359, 10237229, 13649099, 17060969, 20472839, 23884709, 27296579, 30708449, 34120319]
[3617, 213827, 424037, 634247, 844457, 1054667, 1264877, 1475087, 1685297, 1895507, 2105717]

12個連続
[18439, 33291679, 66564919, 99838159, 133111399, 166384639, 199657879, 232931119, 266204359, 299477599, 332750839, 366024079]

13個連続
[4943, 65003, 125063, 185123, 245183, 305243, 365303, 425363, 485423, 545483, 605543, 665603, 725663]

探す範囲が予想もつかないので、適当な範囲でやっていますので、見落としているものもあるとは思われます。
14個以上に挑戦していましたが、自分で設定した範囲では探し出すことは出来ませんでいた。
何方か続き及び補充をお願いします。

検索していたら
146141+54444390*k
但し、0≤k≤13
が例示されていました。

OEISによれば
今みつかっている最も長い数列は次のものです。

A261152 - OEIS

https://oeis.org/A261152

> "Dengan kesaktian Indukmu"さんが書かれました:
> 検索していたら
> 146141+54444390*k
> 但し、0≤k≤13
> が例示されていました。


ありがとうございます。
次が見つからないはずだ。こんなにも初項が遠く離れているとは！
なお初項の数は偶数番目の素数を155個加えた値となることは偶然なのですかね？

gp > vector(155,i,prime(2*i))
%226 =
[3, 7, 13, 19, 29, 37, 43, 53, 61, 71, 79, 89, 101, 107, 113, 131, 139,
151, 163, 173, 181, 193, 199, 223, 229, 239, 251, 263, 271, 281, 293, 311,
317, 337, 349, 359, 373, 383, 397, 409, 421, 433, 443, 457, 463, 479, 491,
503, 521, 541, 557, 569, 577, 593, 601, 613, 619, 641, 647, 659, 673, 683,
701, 719, 733, 743, 757, 769, 787, 809, 821, 827, 839, 857, 863, 881, 887,
911, 929, 941, 953, 971, 983, 997, 1013, 1021, 1033, 1049, 1061, 1069, 1091,
1097, 1109, 1123, 1151, 1163, 1181, 1193, 1213, 1223, 1231, 1249, 1277, 1283,
1291, 1301, 1307, 1321, 1361, 1373, 1399, 1423, 1429, 1439, 1451, 1459, 1481,
1487, 1493, 1511, 1531, 1549, 1559, 1571, 1583, 1601, 1609, 1619, 1627, 1657,
1667, 1693, 1699, 1721, 1733, 1747, 1759, 1783, 1789, 1811, 1831, 1861, 1871,
1877, 1889, 1907, 1931, 1949, 1973, 1987, 1997, 2003, 2017, 2029, 2053]
gp > vecsum(%)
%227 = 146141

私も後で調べてみたら26個連続はA204189,A261140,A317163,A317164,A317255,A317259,A317914も見つかっているようですね。
また2019年4月に新たに発見され、連続27個のものがA327760に載っていました。
これって偶然範囲があえば新しき長さの等差数列素数を発見できるかも知れませんね。

お陰様で、五個の組が、見つかりました。
1＋4＋8＋9＋10＝2＋3＋5＋６＋16
1・4・8・9・10＝2・3・5・6・16
他にも、あるとは思いますが。