角度予測
曲率がいたるところ正となる閉曲線C上に、nを自然数として
異なる(3*n+4)点を任意にとり、ある点から隣の2点を飛ばし
次の点を結ぶ線を次々と引いていくと閉曲線Cの内部に
各点を繋げた星型(3*n+4)角形の図形が現れる。
この時角星に当たる部分の内角をすべて足し合わせると
180*(3*n-2)°となる。
即ち
星型7角形では180°
星型10角形では720°
星型13角形では1260°
星型16角形では1800°
･･･････････････
となりそうなんですが･･･
(何回かの作図制作と分度儀による測量結果を基に予測)
この主張は真か偽か？
(全頂点の内角の和)＋(全頂点の外角の和)
＝(全頂点の「内角+外角」の和)
＝(頂点数)×180°
全部の辺をなぞっていくと3周しますので
(全頂点の外角の和)＝360°×3
∴(全頂点の内角の和)＝(頂点数)×180°－360°×3
＝(頂点数－6)×180°
となります。一般には
pn+q点（pとqは互いに素）をとりp-1点飛ばしでつなげると
内角の和は180(p(n-2)+q)°となりますね。
こんな見事な証明ができるんだ。
どれも3周しているなんて思ってもいなかった。
例え気付いていても、何の利用も考え付かなかったと思う。
いやーもっと一般に他のパターンでも成り立つ性質に結びつけられることに感激です。
これを利用させてもらうと一般に
2*t+3(t=1,2,3,･･･)個の点をC上に配置されたものでは
ある点から隣のt個の点を飛ばして次々と繋いでいって行って出来る星型(2*t+3)角形の
内角の和は全て180°を作ることが出来る。
つまり
星型5角形は各点を1つ飛ばしで繋ぐ
星型7角形は各点を2つ飛ばしで繋ぐ
星型9角形は各点を3つ飛ばしで繋ぐ
星型11角形は各点を4つ飛ばしで繋ぐ
･････････
星型2*t+3角形は各点をt個飛ばしで繋いでいく(t=1,2,3,･･･)
ことでこれらの内角の和は全て180°となってしまうことが起きる！
> "GAI"さんが書かれました:
> 曲率がいたるところ正となる閉曲線C上に、nを自然数として
> 異なる(3*n+4)点を任意にとり、ある点から隣の2点を飛ばし
> 次の点を結ぶ線を次々と引いていくと閉曲線Cの内部に
> 各点を繋げた星型(3*n+4)角形の図形が現れる。
> この時角星に当たる部分の内角をすべて足し合わせると
> 180*(3*n-2)°となる。
> 即ち
> 星型7角形では180°
> 星型10角形では720°
> 星型13角形では1260°
> 星型16角形では1800°
星形図形の公式 （N-２ｄ）πによれば、
Ｎ＝３ｎ＋４、ｄ＝３として、出てきます。
