頭をどう整理すればいいのか？
6月26日付けで投稿されていた開成中学の入試問題（２０２２）の中に
４つのさいころを投げる。目の積が４の倍数となる目の出方は何通りか。
を小学生が挑戦する問題に感心しながら解答を読んで
同じ設定で、では目の積が6の倍数となる目の出方は何通りあるのかと
解答のやり方を参考にしながらあれこれ自分なりの式を捏ね上げて
計算させてみたら正解とずれているではないか。
正解と思われる数はプログラムに頼って出したものになります。
こんなのを小学生が挑戦できるという違いがまず驚きです。
何方か最も効率よい手計算による求め方をご教授下さい。
余事象が何通りなのかについて包除原理を使って 321 通り。
∵
すべて奇数：3^4 = 81
すべて3の倍数でない：4^4 = 256
両方の条件を満たす（1と5のみ）：2^4 = 16
包除原理により
余事象（6の倍数にならない事象)の場合の数は 321 通り。
全事象が 1296 通りなので求める事象(６の倍数になる)の場合の数は
975通り
……と計算してみました。
4の倍数バージョンでの、管理人さんによる模範解答とは別の方法で。もしも私が小学生に教えるならこうします。
余事象を考えると
全部奇数か
３個が奇数で残りが2または6の目で。
6*6*6*6-(3*3*3*3+2*3*3*3+3*2*3*3+3*3*2*3+3*3*3*2) = 999
結局のところ余事象を計算するほうが早いケースもある…と教えると思うのですよね。
管理人さんの方法を参考にするなら次のような感じでしょうか。
◎４つのさいころを投げる。目の積が６の倍数となる目の出方は何通りか。
少なくとも1個が"6"ならば、目の積は6の倍数なので、6^4-5^4=671通り
"3"が1個以上かつ("2"または"4")が1個以上ならば、目の積は6の倍数となる。
"6"がなく、"3"が1個、("2"または"4")が1個 … 4!/(1!1!2!)*1*2*2^2=96通り
"6"がなく、"3"が1個、("2"または"4")が2個 … 4!/(1!2!1!)*1*2^2*2=96通り
"6"がなく、"3"が1個、("2"または"4")が3個 … 4!/(1!3!)*1*2^3=32通り
"6"がなく、"3"が2個、("2"または"4")が1個 … 4!/(2!1!1!)*1^2*2*2=48通り
"6"がなく、"3"が2個、("2"または"4")が2個 … 4!/(2!2!)*1^2*2^2=24通り
"6"がなく、"3"が3個、("2"または"4")が1個 … 4!/(3!1!)*1^3*2=8通り
以上から、671+96+96+32+48+24+8=975通り
******
真ん中の計算量をもう少し減らすと次のようになります。
◎４つのさいころを投げる。目の積が６の倍数となる目の出方は何通りか。
少なくとも1個が"6"ならば、目の積は6の倍数なので、6^4-5^4=671通り
"3"が1個以上かつ("2"または"4")が1個以上ならば、目の積は6の倍数となる。
これは、"6"が1個も含まれない場合のうち、
4個とも"3"でない場合と4個とも("2"または"4")でない場合を除外し、
重複して除外している4個とも("1"または"5")である場合を足しなおせばよいので、
5^4-4^4-3^4+2^4=304通り
以上から、671+304=975通り
\\\\\\
しかし、次の方法のがわかりやすいと思います。
◎４つのさいころを投げる。目の積が６の倍数となる目の出方は何通りか。
目の積が６の倍数とならない目の出方を考える。
「4つとも奇数の場合の数①」と「4つとも3の倍数でない場合の数②」の和から
「4つとも奇数でも3の倍数でもない場合の数③」を引けばよい。
①4つとも奇数であるとき … 3^4=81通り
②4つとも3の倍数でないとき … 4^4=256通り
③4つとも"1"または"5"になるとき … 2^4=16通り
よって、目の積が６の倍数とならない目の出方は、81+256-16=321通り
すべての目の出方は 6^4=1296通り なので、
目の積が６の倍数となる目の出方は
1296-321=975通り
------
もとの問題もこちらの方がわかりやすいかもしれません。
◎４つのさいころを投げる。目の積が４の倍数となる目の出方は何通りか。
目の積が４の倍数とならない目の出方を考える。
①4つとも奇数になるとき … 3^4=81通り
②3つが奇数で残り1つが"2"または"6"のとき … (4C1)*3^3*2=216通り
すべての目の出方は 6^4=1296通り なので、
目の積が４の倍数となる目の出方は
1296-81-216=999通り
++++++
とここまで書いた後で、GAIさんの問いかけが、
> 何方か最も効率よい手計算による求め方をご教授下さい。
というものであることに気づいた。
効率の悪い解答を書いてしまったよ……。
でも、せっかく書いたので全部投稿しておきます。
すべて奇数：3^4 = 81
すべて3の倍数でない：4^4 = 256
両方の条件を満たす（1と5のみ）：2^4 = 16
包除原理により
余事象（6の倍数にならない事象)の場合の数は 321 通り
目の積が６の倍数とならない目の出方を考える。
「4つとも奇数の場合の数①」と「4つとも3の倍数でない場合の数②」の和から
「4つとも奇数でも3の倍数でもない場合の数③」を引けばよい。
①4つとも奇数であるとき … 3^4=81通り
②4つとも3の倍数でないとき … 4^4=256通り
③4つとも"1"または"5"になるとき … 2^4=16通り
よって、目の積が６の倍数とならない目の出方は、81+256-16=321通り
お二人ともよくこの効率良いアイデアにたどりつけますね～
最初りらひいさんの様に直接求めようとして，場合いが結構沢山に分かれて行ってしまい、
頭の中がごちゃごちゃと混乱して行きました。
しかし余事象にあたる6の倍数になれないパターン数を作り出す計算式が
こんなにもスッキリと捗るなんて思ってもいませんでした。
みなさんのセンスを見習って精進精進。
