😊出会いの泉😊

恒等式
2/(a*(2*b -a)) = 1/(a*b) +1/(b*(2*b -a))
から　
(a, b) = (1, 33) or (5, 9) or (13, 9) or (65, 33)
の 4 通り。

上記に当てはまらないもの。
2/65 = 1/35 +1/455

4通りに見えますが、代入すると
2/65=1/33+1/2145
2/65=1/45+1/117
2/65=1/117+1/45
2/65=1/2145+1/33
となりますので2通りしかないですね。
他には
2/65=1/39+1/195
と
2/65=1/65+1/65
があって、計5通りです。

(追記)
恒等式の分母にcを掛けて
2/(a*(2*b-a)*c)=1/(a*b*c)+1/(b*(2*b-a)*c)
とすれば、
(a,b,c)=(1,33,1) → 2/65=1/33+1/2145
(a,b,c)=(1,7,5) → 2/65=1/35+1/455
(a,b,c)=(1,3,13) → 2/65=1/39+1/195
(a,b,c)=(5,9,1) → 2/65=1/45+1/117
(a,b,c)=(1,1,65) → 2/65=1/65+1/65
のように全解が出てきますね。
ちなみに項の入れ替えは
(a,b,c)=(5,3,13) → 2/65=1/195+1/39
(a,b,c)=(13,7,5) → 2/65=1/455+1/35
(a,b,c)=(13,9,1) → 2/65=1/117+1/45
(a,b,c)=(65,33,1) → 2/65=1/2145+1/33
のようになります。

おおっ！！
EXCELLENT！

2/65 = 1/x + 1/y
より
2xy = 65x + 65y
すなわち
(2x-65)(2y-65) = 65^2

x, y の少なくとも一方は 65 以上であることから左辺が負の数同士の積になることはないので、
2x-65 =「65^2 の正の約数」
を全て解いていけば 5 種 9 個の解が得られます。

DD++さん、とても格好いいです。感服しました。

ヒッパルコスによる業績をもとに
プトレマイオスは 1 回帰年の長さを
365 +1/4 -1/300 (単位は日数)
としていたとのです。
エジプト式分数の流れを汲んでいた模様で
整数と単位分数とで表現しているのですね。
但し、一般にエジプト分数では単位分数の和としているのに対して、プトレマイオスによる回帰年の長さでは、単位分数を減算する操作を許しているようではあります。

以上を踏まえまして今回は円周率(の近似値)を自然数と単位分数との加減算で表現してみます。すなわち。

π ≈ 3 +1/7 -1/791

第二項までで打ち切りますと有名な有理数近似値
22/7
と等しく
第三項までを計算しますとこれもまた有名な有理数近似値
355/113
と等しくなります。
面白いことです。

文献上では知られていないだけで存外、
3 +1/7 -1/791
は、ひょっとして古代でもあるいは知られていたのではなかろうかと夢想してみたくもなります。

πのエジプト式分数による近似。
減算を許さなければ以下のようになると OEIS が教えてくれました。 A001466

3+1/8+1/61+1/5020+1/128541455+1/162924332716605980+1/28783052231699298507846309644849796+1/871295615653899563300996782209332544845605756266650946342214549769447+　………　

月に宇宙船を着陸させたアポロ計画でも、計算には 3.1416 を使っていたらしいので、工学的な実用上では　
3+1/8+1/61+1/5020
でも広い範囲で充分であることかと。

やはり減算を許したほうが《収束？は速い》ようで。分母が大きくなる速さが……

3 +1/7 -1/791 -1/3748629 +1/151648960887729 -1/1323497544567561138595307148089 +1/41444465282455711991644958522615049159671653083333293470875123 ………

OEIS A001467 より。

> 以上を踏まえまして今回は円周率(の近似値)を自然数と単位分数との加減算で表現してみます。すなわち。

> π ≈ 3 +1/7 -1/791

> 第二項までで打ち切りますと有名な有理数近似値
> 22/7
> と等しく
> 第三項までを計算しますとこれもまた有名な有理数近似値
> 355/113
> と等しくなります。
> 面白いことです。

そこでいっそのこと
S=[1,1,1,7,-791,-3740526,1099482930,-2202719155,6600663644,-26413901692,96840976853,-496325469560,2346251883960,-44006595799206,･･･]
として
gp > for(n=4,14,print1(sum(k=1,n,1/S[k])","))
22/7,355/113,103993/33102,104348/33215,208341/66317,312689/99532,833719/265381,1146408/364913,4272943/1360120,5419351/1725033,80143857/25510582,
と円周率πの近似分数 (A002485/A002486)が並んでいける。(収束スピードは遅いが･･･)
A006784には収束が速そうなものが載っています。

■交代級数のように単位分数をかわるがわる足したり引いたりをして円周率の近似値を表してみます。
※いくらでも項数の多いものが作れるそうですがそこまでは……

π ≈ 3 +1/7 -1/784 +1/90160 -1/14155120 +1/5265704640 -1/2274784404480
= 1429289194723/454956880896　
≈ 3.14159265359

……が得られます。

■求め方
https://oeis.org/A061233
を参考にしました。
PARI/gp を利用しましたが、A061233 に書かれているプログラムはよくわからなかったので以下のものを使いました。

(PARI)? r=1/(4-Pi) ; for(n=1, 6, r=r/(r-floor(r)); print1(floor(r), ", "))

出力は
7, 112, 115, 157, 372, 432,
でした。
これから、次のようにします。

π ≈ 4 -1/1 +1/7 -1/(7*112) +1/(7*112*115) -1/(7*112*115*157) +1/(7*112*115*157*372) -1/(7*112*115*157*372*432)
= 3 +1/7 -1/784 +1/90160 -1/14155120 +1/5265704640 -1/2274784404480
= 1429289194723/454956880896　
≈ 3.14159265359

Android スマホ用の PARI のアプリをみつけたのでお試しに使いたくなり、上のように遊んでみました。

[1988] でも [1991] でも
交代級数の単位分数の一般項は定め難いものがあります。

ところが、ごく簡単な一般項を持ち得ると知って、PARI/GP で確認してみました。以下が対話です。↓↓↓

? \p 300
realprecision = 308 significant digits (300 digits displayed)

? A = 3 +sumalt(n=1,((-1)^(n+1))/(n*(n+1)*(2*n+1)))
%1 = 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899862803482534211706798214808651328230664709384460955058223172535940812848111745028410270193852110555964462294895493038196442881097566593344612847564823378678316527120190914564856692346034861045432664821339360726024914127

? B = Pi - A
%2 = 0.E-307

このパターンは初めてみました。（確かに覚えやすい。）
調べてみると初めの3も含め
48*sumalt(n=0,(-1)^n/((6*n+1)*(6*n+3)*(6*n+5)))
によってもπが構成されるみたいですね。

互い違いの力って大きいですね。

GAI さん。
1/((6*n+1)*(6*n+3)*(6*n+5))
こちら、私、初見です。
不思議な形ですね……

GAI さん。
[1993] に関係しますけれども。

48*(1/(1*3*5)-1/(7*9*11)+1/(13*15*17)-1/(19*21*23)+1/(25*27*29)-1/(31*33*35)) -4*(1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+1/13-1/15+1/17-1/19+1/21-1/23+1/25-1/27+1/29-1/31+1/33-1/35)
= 248269474984/4512611027925
≈ 0.0550168125388

項数を増やしていくと、0 に収束する気配を感じますが、証明ができないでおります。

48/((6k+1)(6k+3)(6k+5)) = { 6/(6k+1) - 6/(6k+3) + 6/(6k+5) } - 2/(2k+1)
と変形すれば、これの交代無限級数が
6*(π/4) - 2*(π/4) = π
と 2 組のライプニッツ級数で計算できますね。
それぞれの級数は絶対収束するわけではないので、取り扱いに少し注意が必要ですが。

DD++ さん。
ありがとうございました！

> "DD++"さんが書かれました:
> 48/((6k+1)(6k+3)(6k+5)) = { 6/(6k+1) - 6/(6k+3) + 6/(6k+5) } - 2/(2k+1)
> と変形すれば、これの交代無限級数が
> 6*(π/4) - 2*(π/4) = π
> と 2 組のライプニッツ級数で計算できますね。
> それぞれの級数は絶対収束するわけではないので、取り扱いに少し注意が必要ですが。


どうやって正当化すればよいのかわからなかったので
f(x) = 6*arctan(x) -2*arctan(x^3)
をテーラー展開して３項づつ区切ることで
なんとかなりそうと思いました。

f(x) = (6*x-4*x^3+(6*x^5)/5)
-((6*x^7)/7-(4*x^9)/3+(6*x^11)/11)
+((6*x^13)/13-(4*x^15)/5+(6*x^17)/17)
-((6*x^19)/19-(4*x^21)/7+(6*x^23)/23)
+……
= (6*x-(12*x^3)/3+(6*x^5)/5)
-((6*x^7)/7-(12*x^9)/9+(6*x^11)/11)
+((6*x^13)/13-(12*x^15)/15+(6*x^17)/17)
-((6*x^19)/19-(12*x^21)/21+(6*x^23)/23)
+……

あとは、6*k+1, 6*k+3, 6*k+5
をうまく 使ってやって整理しておいて
最後に x=1 としてやります。

そこが難しいところで、級数が絶対収束しないので、和の順序入れ替え不可なのです……。

マクローリン展開の第 n 項までの和を不等式評価し、挟み撃ちする感じになりますね。