😊出会いの泉😊

変形すると
(ax-n)(ay-n)=n^2
となりaは小さいほうが良い（解が多くなる）と思われますのでa=2とします。
するとnは奇数限定ですから、「約数の多い奇数」が良さそうです。
100未満で約数が多い奇数は45,63,75,99（いずれもn^2の約数は15個）なので
おそらく2/45,2/63,2/75,2/99が解が多い(解は(15+1)/2=8個)と予想されます。
同様に考えると100以上1000未満では
3^3*5*7=945の約数の個数が63で最多
なので2/945が最多（解は(63+1)/2=32個）となることが予想されます。
その後プログラムを作って確認したところ、確かにこれらが最多でした。
さらに10000未満にすると
3^2*5*7*11=3465, 3^2*5*7*13=4095, 3^2*5*7*17=5355, 3^2*5*7*19=5985,
3^2*5*7*23=7245, 3^2*5*7*29=9135, 3^2*5*7*31=9765, 3^2*5*11*13=6435,
3^2*5*11*17=8415, 3^2*5*11*19=9405, 3^2*5*13*17=9945, 3^2*7*11*13=9009,
3*5^2*7*11=5775, 3*5^2*7*13=6825, 3*5^2*7*17=8925, 3*5^2*7*19=9975,
3*5*7^2*11=8085, 3*5*7^2*13=9555
(4+1)(2+1)^3=135
(135+1)/2=68
から
2/3465,2/4095,2/5355,2/5775,2/5985,2/6435,2/6825,2/7245,2/8085,
2/8415,2/8925,2/9009,2/9135,2/9405,2/9555,2/9765,2/9945,2/9975
の18通りで解が68個となるのが最多、100000未満では
3^2*5*7*11*13=45045, 3^2*5*7*11*17=58905, 3^2*5*7*11*19=65835,
3^2*5*7*11*23=79695, 3^2*5*7*13*17=69615, 3^2*5*7*13*19=77805,
3^2*5*7*13*23=94185, 3*5^2*7*11*13=75075, 3*5^2*7*11*17=98175,
(4+1)(2+1)^4=405
(405+1)/2=203
から
2/45045,2/58905,2/65835,2/69615,2/75075,2/77805,2/79695,2/94185,2/98175
の9通りで解が203個となるのが最多（いずれも確認済み）ですね。
(追記)
1000000未満では
3^2*5*7*11*13*17=765765, 3^2*5*7*11*13*19=855855
(4+1)(2+1)^5=1215
(1215+1)/2=608
から
2/765765,2/855855の2通りで解が608個となるのが最多
となりそうですが、これは未確認です。

2/765765=1/x+1/y (x≦y)
を満たす[x,y]を調べてみました。

M=[[765765], [382883, 293198400495], [382884, 97733055420], [382885, 58639986405], [382886, 41885813970], [382887, 32577940395], [382888, 26654748120], [382889, 22554076545], [382890, 19546917390], [382891, 17247325095], [382893, 13962193245], [382895, 11728303587], [382896, 10859568720], [382899, 8885171295], [382900, 8377469100], [382902, 7518280770], [382905, 6515894385], [382907, 5984015895], [382908, 5749363620], [382910, 5331255930], [382914, 4654319670], [382915, 4511121615], [382920, 3909689784], [382921, 3808149345], [382923, 3620111495], [382925, 3449771325], [382928, 3222339120], [382932, 2961979020], [382935, 2792744955], [382941, 2506348845], [382942, 2464231770], [382943, 2423506995], [382950, 2172220050], [382954, 2050718670], [382956, 1994927220], [382959, 1916709795],
[424710, 3887730], [425425, 3828825], [425799, 3798795], [425880, 3792360], [427245, 3687453], [427350, 3679650], [427635, 3658655],
････････････････
[626535, 984555], [630630, 974610], [634270, 966042], [634865, 964665], [636480, 960960], [638495, 956403], [645150, 941850], [645645, 940797], [647955, 935935], [651508, 928620], [654381, 922845], [656370, 918918], [658944, 913920], [659022, 913770], [661045, 909909], [663663, 904995], [664020, 904332], [666666, 899470], [668745, 895713], [675495, 883883], [675675, 883575], [680680, 875160], [683298, 870870], [692835, 855855], [693420, 854964], [696150, 850850], [701415, 843115], [701505, 842985], [706095, 836451], [706860, 835380], [711620, 828828], [714714, 824670], [717145, 821457], [718263, 819995], [720720, 816816], [726495, 809523], [729729, 805545], [734825, 799425], [737919, 795795], [740520, 792792], [740740, 792540], [743886, 788970], [749190, 783090], [750057, 782145], [753984, 777920], [759330, 772310]]

#M=608
全部をアップしようとしたら、10000字を越えましたのでアップを中止しますの警告が出たので途中ずいぶんの部分を省略しました。

2/855855も確認しました。
総当たりで検索していたのでこんな範囲まで考えが及びませんでした。

その後1000000未満では2/765765,2/855855の608個が最多であることは確認できました。
そしてついでに10000000未満も調べました。10000000未満では
3*5*7*11*13*17*19=4849845, 3*5*7*11*13*17*23=5870865, 3*5*7*11*13*17*29=7402395,
3*5*7*11*13*17*31=7912905, 3*5*7*11*13*17*37=9444435, 3*5*7*11*13*19*23=6561555,
3*5*7*11*13*19*29=8273265, 3*5*7*11*13*19*31=8843835, 3*5*7*11*17*19*23=8580495
(2+1)^7=2187
(2187+1)/2=1094
3^4*5*7*11*13*17=6891885, 3^4*5*7*11*13*19=7702695, 3^4*5*7*11*13*23=9324315
(8+1)(2+1)^5=2187
(2187+1)/2=1094
から
2/4849845,2/5870865,2/6561555,2/6891885,2/7402395,2/7702695,
2/7912905,2/8273265,2/8580495,2/8843835,2/9324315,2/9444435
の12通りで解が1094個となるのが最多（確認済み）です。