組合せ関数Cでの等式
組合せ関数で成立する代表的なものとして
nC0+nC1+nC2+･････+nCn=2^n
がある。
このサイトでも他のいろいろな等式が成立するコーナーが確かあったような
印象があり探すも膨大な内容を含んでいるので何処だったか見つけられずなので
そこに紹介されているかも知れませんが、色々と例を上げてみますので挑戦して
見て下さい。
nCkが含まれると、私は直感ではなかなか気が付けません。
(1)nが偶数のとき
nC0+nC2+nC4+･････+nCn
(2)nが奇数のとき
nC0+nC2+nC4+･････+nC[n-1]
(3)kの方を固定する
nCk+[n+1]Ck+[n+2]Ck+･････+[n+m]Ck
(4)n,kを同時に変化させる
nCk+[n-1]C[k-1]+[n-2]C[k-2]+･････+[n-k]C0
(5)n,k,符号を同時に変化させる
2nC0-[2n-1]C1+[2n-2]C2-[2n-3]C3+･････+(-1)^n*nCn
(6)2つのC関数の積を組合わす
nC0*mCk+nC1*mC[k-1]+nC2*mC[k-2]+･････+nCk*mC0
(7)2つのC関数の積を符号を交互に組合わす
nC0*nCk-nC1*[n-1]S[k-1]+nC2*[n-2]C[k-2]-･････+(-1)^k*nCk*[n-k]C0
(8)Cに係数を付随させる
2nCn+2*[2n-1]Cn+2^2*[2n-2]Cn+･････+2^n*nCn
http://shochandas.xsrv.jp/number/binomialcoefficient.htm
↑このページですね。
そして
(1)と(2)は上記ページの(6)
(3)は上記ページの(11)
(6)は上記ページの(16)
に相当しますね。
(4)(5)(7)(8)はなさそうでしたが、探し方が悪いだけかも知れません。
http://shochandas.xsrv.jp/number/binomialcoefficient.htm
のページを見てきました。
(5)は上記ページの(12)
(8)は上記ページの(13)
に相当しますね。
(4)は、上記ページの(11)の説明文のなかの
【(11)で、k=nのときは、……「総和の公式」とも言われる。】
の部分に書かれている式においてnにn-kを代入してmにkを代入したものなので、答えは[n+1]Ck
(7)は、上記ページの(27)において両辺に(-1)^kをかけてnにn-kを代入してmにnを代入したものなので、答えは(-1)^k*[k-1]Ck=0
あら～全部既にアップされているんだ。
ここにないものを作ってみました。
(1)aCb*cC0+[a+1]Cb*cC1+[a+2]Cb*cC2+[a+3]Cb*cC3+･･･+[a+k]Cb*cCk+･･･+[a+c]Cb*cCc
(ただしa≧b≧c≧0)
(2) aC0*sCa - aC1*[s-t]Ca + aC2*[s-2*t]Ca - aC3*[s-3*t]Ca + ･･･+(-1)^k*aCk*[s-k*t]Ca+･･･+(-1)^a*aCa*[s-a*t]Ca
(ただしa,s,t>0の整数)
