😊出会いの泉😊

個数制限なしで3種類の文字から3*n個選ぶ選び方は、
3H[3*n]
=[3*n+2]C2
=(3*n+2)*(3*n+1)/2
通り。

その中で不適なものはどれか1種類の文字が2n+1個以上になった場合であり、
このとき残り2種類の文字が2*n個を超えることはないので、
不適となる選び方の数は、
3*{Σ[k=2n+1～3*n]2H[3*n-k]}
=3*{Σ[k=2n+1～3*n][3*n-k+1]C1}
=3*{Σ[k=2n+1～3*n](3*n-k+1)}
=3*{Σ[m=1～n](n-m+1)}
=3*{Σ[m=1～n](n+1) - Σ[m=1～n]m}
=3*{(n+1)*n - n*(n+1)/2}
=3*n*(n+1)/2
通り。

よって、2*n個のAと2*n個のBと2*n個のCから3*n個の文字を選ぶ選び方は、
(3*n+2)*(3*n+1)/2 - 3*n*(n+1)/2
=3*n^2+3*n+1
通り。

A の個数で場合分けして、
(n+1) + (n+2) + (n+3) + …… + 2n + (2n+1) + 2n + …… + (n+2) + (n+1)
= (1/2)*n*(3n+1)*2 + (2n+1)
= 3n^2 + 3n + 1 通り

2色で同様のことをすると 2n+1 通りになるということは、
これを (n+1)^3 - n^3 という式から導きたいという主旨でしたかね？

4色の場合 (16/3)n^3 + 8n^2 + (14/3)n + 1 通りっぽいので、
3 色まで (n+1)^k - n^k に一致したのはただの偶然だったようです……ちょっと残念。

4色の場合 (16/3)n^3 + 8n^2 + (14/3)n + 1 通り
n=1なら19ですよね。
A,A,B,B,C,C,D,D
から3つを選ぶ方法は
[A,A,B],[A,A,C].[A,A,D]
同様に[B,B,*],[C,C,*],[D,D,*]型で12通り
後は4C3=4通りで
計16通りしか作れないんではないかと思われるんですが後3通りは何ですか？

4色の場合は
(23/6)n^3+7n^2+(25/6)n+1
でしょうか。

(追記)
一般にk色のとき
(k)H(3n)-(k)H(n-1)×k
=(3n+k-1)C(k-1)-(n+k-2)C(k-1)×k
となり、
2色: n+1
3色: 3n^2+3n+1
4色: (23/6)n^3+7n^2+(25/6)n+1
5色: (19/6)n^4+10n^3+(65/6)n^2+5n+1
・・・
のようになると思います。

元の問題の「6n個から3n個取る」を「ちょうど半分取る」と解釈して、
4色の場合は「8n個から4n個取る」で考えています。

皆さんが発見された結果を使って、次の事が成立することを6色まで確認できました。
確認はしていませんが以下同様な言い換えで探せるものと思われます。
3色では
-n≦a,b,c≦nで　a+b+c==0 を満たす(a,b,c)の個数を求めることに同じ。

4色では
-n≦a,b,c,d≦nで　a+b+c+d==n を満たす(a,b,c,d)の個数を求めることに同じ。

5色では
-n≦a,b,c,d,e≦nで　a+b+c+d+e==2*n を満たす(a,b,c,d,e)の個数を求めることに同じ。

6色では
-n≦a,b,c,d,e,f≦nで　a+b+c+d+e+f==3*n を満たす(a,b,c,d,e,f)の個数を求めることに同じ。

> "DD++"さんが書かれました:
> 元の問題の「6n個から3n個取る」を「ちょうど半分取る」と解釈して、
> 4色の場合は「8n個から4n個取る」で考えています。

なるほどこの解釈でいくと
4色ではn=1,2,3,･･･で
19,85,231,489,･･･,(2*n+1)*(8*n^2+8*n+3)/3

5色では
51,381,1451,3951,･･･,1 + 5*n*(n+1)*(23*n^2 + 23*n + 14)/12
となるわけですね。

この場合だと
4色では
-n≦a,b,c,d≦n　で　a+b+c+d==0 を満たす(a,b,c,d)の組の個数

5色では
-n≦a,b,c,d,e≦n　で　a+b+c+d+e==0 を満たす(a,b,c,d,e)の組の個数
と同等となる模様です。