角の三等分と正7,13,19角形
円分多項式x^n-1=0でn=3,5,17では根が有限回の平方根と四則演算で表すことができるので、定規とコンパスで作図できますが、n=7,9,13,19の場合は、根に立方根が現れるので定規とコンパスで作図をすることができません。
また、角の三等分方程式は三次方程式で、根に立方根が現れるので、一般の角の三等分は定規とコンパスで作図をすることができません。
以前、もし、定規とコンパスに加えて「角の三等分器」という道具を使用可能としたら、どのようにして正7,13,19角形を作図できるかというのを考えてみました。
hXXp://kuiperbelt.la.coocan.jp/n-gon/n-gon.html
拝読いたしました。
正11角形が作図できないこと、意外に思いました。
角の三等分器を利用すれば開立ができるのは正しいとして、
逆に角の三等分器を利用して新たにできるようになることは開立だけなんでしょうか？
なるほど、角の３等分が許されるとき m, n を非負整数として p が
p = (2^m)*(3^n) +1
と書けるならば
正 p 角形の作図が原理的には可能と。
p は 11 にはなり得ない。
興味深いことです。
[2017] で私が述べたことはちょっと甘すぎで認識誤り、
正しくは「ピアポント素数」(WIKIpedia) の項に書かれています。
https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E3%83%94%E3%82%A2%E3%83%9D%E3%83%B3%E3%83%88%E7%B4%A0%E6%95%B0
m, n を非負整数としてp=(2^m)*(3^n)+1という形の素数をピアポント素数というのですね。
k個の素数p1,p2,p3,...,pk(p1<p2<p3<...<pk)に対して、(p1^n1)*(p2^n2)*(p3^n3)*...*(pk^nk)+1の形の素数を一般化ピアポント素数というそうです。ネウシス作図では、一般の角の三等分と、pがピアポント素数のときの正p角形の作図ができて、他に正11角形の作図もできるそうですが、p=(2^n1)*(3^n2)*(5^n3)+1の一般化ピアポント素数のときの正p角形の作図が可能かどうかは未解決問題なのだそうです。
https://ja.wikipedia.org/wiki/ネウシス作図
