星形図形の内角の総和公式の証明
円周上に、Ｎ個の点を配置するとき、N個の頂点、ｄ（足跡の長さとする）
内角の総和＝（N-２ｄ）π 一般化
1，正Ｎ角形頂点の内角の総和 ｄ＝１（隣り合う点を結ぶ）の場合
対角線により、Ｎ－２個の三角形に分割されますので、
内角の総和＝（Ｎ－２）π
2．Ｎ角形の頂点の内角の総和＝（Ｎ－２）π ｄ＝１の場合
頂点を、等分にしなくても成り立つ。
円周角を一つずつ動かしても、全体の角の総和はかわらない。
３，星形（ｄ個ずつ結んだ場合）N＞２ｄ １，２の一般化
公約数（Ｎ，ｄ）＝１の場合
4，公約数（Ｎ，ｄ）＝ｄ’＞1、の場合
5，円周上に、Ｎ個の点を取り、12時の点から始め（一般性を失わない）、正の回転（左回りで意）番号付け（1からN、または、０からN-1）をしておく。すべて頂点Ａ，Ｂ，Ｃの順で結んだ時、直線ＡＢと直線ＢＣのなす角が正の回転とする。
6，その他、複数の多角形に分割される場合
円周角の性質を、利用して証明できます。
3の証明
時計の１２時の位置に点を選び、円周をＮ等分し、その点を選ぶ。
１２時の点から始め、一定の間隔ｄで対角線を結ぶと、
Ｎ回目に元の１２時の位置に戻ることができる。
Ｎｄ≡０(mod N) N'<Nでは、元に戻らない。
一区間の中心角は、２π/Nで、円周角は、π/Ｎである。
一方、その円周角は、区間（Ｎ－２ｄ）の円周角であり、Ｎ個ある。
星形図形の内角の総和＝
（π/Ｎ）＊（Ｎ－２ｄ）＊Ｎ＝（Ｎ－２ｄ）π
N>2dの条件は、同じ形の逆順を避けるためです。
４の証明
d=d'のとき、つまり、ｄがＮの約数、N=de
このとき、頂点がe個の多角形がｄ個できるので、
内角の総和＝ｄ＊（e-2）π＝（de-2d）π＝（Ｎ－２ｄ）π。
4の証明 ｄ＞ｄ’のとき
N/d', d/d'は、ともに整数で、
頂点の数N/d'個、足跡の長さd/d' の角は(N/d'-2d/d')πとなり、
同じ図形が、ｄ’個できるので、
出来る図形の内角の総和＝d’（N/d'-２d/d'）π
＝（N-２d）π。
5の証明
頂点表示：σ1,…σn,(o～n-1の置換)
足跡表示：d1,…dn、ｄ(i)=σ(i+1)-σ(i)、σ(n+1)=σ(1)
Σd(i)=Σ(σ(i+1)-σ(i))=0 （Σは、１～Ｎまで）
但し、σ(i)>σ(i+1)のとき、マイナスになるが、左回りで数えるので、
ｄ(i)をN+ｄ(i)に置き換えると、Σd(i)は、Nの倍数となる。
つまり、Σd(i)＝Nｄ（ｄは、平均値）
頂点角表示：e(i)=π/N(N-(d(i)+d(i+1)))
N-(d(i)+d(i+1)>0 (正の角、左回りの角なので,
同じ理由で、N/2>d(i+1),N/2>d(i))から)
円周角の総和＝Σe(i)=π/NΣ(N-(d(i)+d(i+1)))
＝π/N(N^2-Σ（d(i)+d(i+1)）)
＝π/N(N^2-2Nd)=(N-2d)π。
二か所修正しました。
6の証明
N＝n1＋…nk,nk>３のとき
各nkは、サイクルの図形なので、５の証明と同じ。
説明不足があれば、よろしくお願いします。
