指数を探す
1^x+2^x=3^x を満たすxは？ x=1
3^x+4^x=5^xを満たすxは？ x=2
は見つかる。
ではそれぞれの式を満たすxは何？
(1)2^x+3^x=4^x
(2)4^x+5^x=6^x
(3)4^x+6^x=9^x
(4)9^x+12^x=16^x
普通に数値計算すればよいだけなら、a^x+b^x=c^xの解は適当な初期値から
x←x-(a^x+b^x-c^x)/{(loga)a^x+(logb)b^x-(logc)c^x}
という漸化式で求めればよく、近似値(小数第61位を四捨五入)は
(1) 1.507126591638653133986883360838631164373994094485656896675364
(2) 2.487939173118174667543358494964101710715178304214349713989600
(3) 1.186814390280981717544988040147644615298932643889332006235330
(4) 1.672720934462332544585431252419794866784109546317415204907841
(3),(4)には明示的表示が可能となると思うんですが(1),(2)では無理ですかね？
あ、(3)(4)は解けるんですね。
(a^2)^x+(ab)^x=(b^2)^x
1+(b/a)^x=((b/a)^x)^2
(b/a)^x=(√5+1)/2
∴x=log((√5+1)/2)/log(b/a)
により
(3)はlog((√5+1)/2)/log(3/2)
(4)はlog((√5+1)/2)/log(4/3)
しかし(1)(2)は解ける方程式の形にならないので無理な気がします。
s(a^2)^x+t(ab)^x=u(b^2)^x
のように係数が掛かっていても解けますが、この形にもならないですよね。
