素数を作ろう
一般に偶数個の連続した自然数を円形に並べたとき、隣同士の和が全て素数
を構成できる並べが可能かを考えてみる。
例えば{1,2,3,4}では
1 2
4 3
と配列すれば
'3
5 5
'7
なので条件を満たすが
1 3
4 2
の配置では
'4
5 5
'6
となり条件は満たせない。
また{2,3,4,5}では
どう並べようと不可能である。
このルールで次の問いに挑戦願う。
[1]
6個の連続する自然数を{n1,n2,n3,n4,n5,n6}
とした時(n1<n2<･･･<n6)
最も多く素数の種類が構成できるものを
1≦n1≦100の範囲で具体的配列を１個見つけてほしい。
[2]
10個の連続する自然数を{n1,n2,n3,･･･,n10}
とした時(n1<n2<･･･<n10)
どの様に並べて見ても、その配列が不可能である
n1の値を1≦n1≦20の範囲で決定してほしい。
[1]
条件の解釈が正しければ
2 3 4 7 6 5 (素数4種類)
※5種類以上出来ないことは明らか
※これが正しいとしたら100までである必要はないような…
[2]
9と12と20でしょうか。
(追記)
もし「10連続自然数で条件を満たすのが不可能である最小のn1は9」で正しければ
n連続自然数の場合、n=2,4,6,…30に対して最小のn1は
4,2,8,4,9,35,36,48,92,91,90,230,246,251,647
のようになると思います。
n連続自然数の場合、n=2,4,6,…30に対して最小のn1は
4,2,8,4,9,35,36,48,92,91,90,230,246,251,647
のようになると思います。
とても自分での調査方法ではこんなn連続に対する状況は夢のまた夢の中にあります。
さすがにOEISには未登録にありますね。
でも素数の出現位置がほんとにランダムであることを示す一つの指標にある様に思われます。
なお[1]は
{2,3,4,5,6,7}→[2,3,4,7,6,5] ; 構成素数<5,7,11,13>
{5,6,7,8,9,10}→[5,6,7,10,9,8] ; 構成素数<11,13,17,19>
{50,51,52,53,54,55}→[50, 51, 52, 55, 54, 53] ; 構成素数<101,103,107,109>
{95,96,97,98,99,100}→[95, 96, 97, 100, 99, 98] ; 構成素数<191,193,197,199>
の4タイプの積りでしたが、それぞれ同じ配列タイプで可能なんですね。
また
[1,2,3,4,7,6,5,8,9,10]での配列では構成素数<3,5,7,11,13,17,19>
の7種類が発生するので、これをどこまで増やせるのか疑問に感じました。
> [1,2,3,4,7,6,5,8,9,10]での配列では構成素数<3,5,7,11,13,17,19>
> の7種類が発生するので、これをどこまで増やせるのか
増やせないと思います。
先頭をn、末尾をn+9とすると
最小の和は2n+1、最大の和は2n+17であり、奇数は
2n+1,2n+3,2n+5,2n+7,2n+9,2n+11,2n+13,2n+15,2n+17
の9個になります。
しかしこの中に必ず3の倍数が3個入ってしまいますので、
そのうち1個が3である場合が7種類で最大です。
> n連続自然数の場合、n=2,4,6,…30に対して最小のn1は
> 4,2,8,4,9,35,36,48,92,91,90,230,246,251,647
この先が気になったので今まで計算していました。
n=32,34,36,38,40に対して最小のn1は
646,645,644,643,1062
でした。
きちんと考えれば無駄な探索を大幅に減らすことができそうな
気はしますが、この数列自体それほど興味深いものでは
ないようなので、ここまでで終わりにしようと思います。
