😊出会いの泉😊

11での和の完全な分割は、

1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1
1,1,1,1,1,6
1,1,1,4,4
1,1,3,3,3
1,1,3,6
1,2,2,2,2,2
1,2,2,6
1,2,4,4

の8通りで、12での積の分割も、

12,2*6,6*2,3*4,4*3,2*2*3,2*3*2,3*2*2

の8通り。

23での和の完全な分割は、

1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1
1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,12
1,1,1,1,1,1,1,8,8
1,1,1,1,1,6,6,6
1,1,1,1,1,6,12
1,1,1,4,4,4,4,4
1,1,1,4,4,12
1,1,1,4,8,8
1,1,3,3,3,3,3,3,3
1,1,3,3,3,12
1,1,3,6,6,6
1,1,3,6,12
1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2
1,2,2,2,2,2,12
1,2,2,2,8,8
1,2,2,6,6,6
1,2,2,6,12
1,2,4,4,4,4,4
1,2,4,4,12
1,2,4,8,8

の20通りで、24での積の分割も、

24,2*12,12*2,3*8,8*3,4*6,6*4,
2*2*6,2*6*2,6*2*2,
2*3*4,2*4*3,3*2*4,3*4*2,3*4*2,4*3*2
2*2*2*3,2*2*3*2,2*3*2*2,3*2*2*2

の20通り。

1+x+x^2+…+x^11を係数が非負整数となるように因数分解すると、
1+x+x^2+…+x^11
=(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5)(1+x^6)
=(1+x+x^2+x^3)(1+x^4+x^8)
=(1+x+x^2)(1+x^3+x^6+x^9)
=(1+x+x^2)(1+x^3)(1+x^6)
=(1+x)(1+x^2+x^4+x^6+x^8+x^10)
=(1+x)(1+x^2+x^4)(1+x^6)
=(1+x)(1+x^2)(1+x^4+x^8)
の8通りの形で表すことができますが、このことと関係あるのでしょうか。

なるほど
この完全分割はこの展開式と繋がれるんですね。
ですから2つとも自然数nの素因数分解形のタイプをもって一つ違いの自然数で
和の完全分割と積の分割方法が同じ数値を取っていける。

<n(型)>; <積の分割方法>;<和の完全分割方法>;
1 ; 1; 1;
2(p) ; 1; 1;
3(p) ; 1; 2;
4(p^2) ; 2; 1;
5(p) ; 1; 3;
6(p*q) ; 3; 1;
7(p) ; 1; 4;
8(p^3) ; 4; 2;
9(p^2) ; 2; 3;
10(p*q); 3; 1;
11(p) ; 1; 8;
12(p^2*q); 8; 1;
13(p) ; 1; 3;
14(p*q); 3; 3;
15(p*q); 3; 8;
16(p^4); 8; 1;
17(p) ; 1; 8;
18(p^2*q); 8; 1;
19(p) ; 1; 8;
20(p^2*q); 8; 3;
21(p*q); 3; 3;
22(p*q); 3; 1;
23(p) ; 1; 20;
24(p^3*q); 20; 2;
･････････････

以下素因数分解型と<積の分割方法>とは一対一の対応が付きそうだが
上の例にもある様に
p^2*q型とp^4型は同じ値の8を取ってしまう。
他にも
p^6*q型とp^9型は同じ値256となってしまう。
そこで今度は
そのような分解型が異なっても同じ値を取ってしまう2組をこれ以外に
探してほしい。

p^nの積の分割の数は、n個のpを並べたときに、(n-1)個の隙間に区切りを配置する
方法の数と等しくなるので、

1+C(n-1,1)+C(n-1,2)+...+C(n-1,n-1)=2^(n-1)

より、2^(n-1)通り。

p^n*qの積の分割の数は、n個のpを並べたときに、(n-1)個の隙間に区切りを配置し、
さらに、k個の区切りを配置して、n個のpを(k+1)個のグループに分割したときに、
qを両端か、(k+1)個のグループ内か、k個の区切り上に配置する方法の数と等しく
なるので、

3+5*C(n-1,1)+7*C(n-1,2)+...+(2*n+1)*C(n-1,n-1)
=3*(1+C(n-1,1)+C(n-1,2)+...+C(n-1,n-1))
+2*(C(n-1,1)+2*C(n-1,2)+...+(n-1)*C(n-1,n-1))
=3*2^(n-1)+(n-1)*2^(n-1)=(n+2)*2^(n-1)

より、(n+2)*2^(n-1)通り。

p^mの積の分割の数2^(m-1)とp^n*qの積の分割の数(n+2)*2^(n-1)が等しくなるのは、

(n+2)*2^(n-1)=2^(m-1)
n+2=2^(m-n)

より、n=2^k-2(k≧2)のときで、このとき、m=n+k=2^k+k-2
k=2のとき(m,n)=(4,2)、k=3のとき(m,n)=(9,6)であり、以下、
k=4のとき(m,n)=(18,14)、k=5のとき(m,n)=(35,30)、…となる。

p^n*q^2の積の分割の数は、n個のpを並べたときに、(n-1)個の隙間に区切りを配置し、
さらに、k個の区切りを配置して、n個のpを(k+1)個のグループに分割したときに、
2個のqを両端か、(k+1)個のグループ内か、k個の区切り上に配置する方法の数と等しく
なり、さらに、両端と区切り上に2個配置する場合は、2個のqを分割して配置する場合と
分割せずに配置する場合があるのでので、方法の数は、

(C(4,2)+2)+(C(5,2)+3)*C(n-1,1)+(C(6,2)+4)*C(n-1,2)
+...+(C(n+3,2)+n+1)*C(n-1,n-1)
=8*(1+C(n-1,1)+C(n-1,2)+...+C(n-1,n-1))
+(9/2)*(C(n-1,1)+2*C(n-1,2)+...+(n-1)*C(n-1,n-1))
+(1/2)*(C(n-1,1)+2^2*C(n-1,2)+...+(n-1)^2*C(n-1,n-1))
=8*2^(n-1)+(9/2)*(n-1)*2^(n-2)+(1/2)*n(n-1)*2^(n-3)
=(n^2+17*n+46)*2^(n-4)

より、(n^2+17*n+46)*2^(n-4)通り。

p^n*q*rの積の分割の数は、n個のpを並べたときに、(n-1)個の隙間に区切りを配置し、
さらに、k個の区切りを配置して、n個のpを(k+1)個のグループに分割したときに、
q,rを両端か、(k+1)個のグループ内か、k個の区切り上に配置する方法の数と等しく
なり、さらに、両端と区切り上にq,rを配置する場合は、q*rとして配置する場合と、
r*qとして配置する場合と、分割せずに配置する場合があるので、方法の数は、

(3^2+2*2)+(5^2+2*3)*C(n-1,1)+(7^2+2*4)*C(n-1,2)
+...+((2*n+1)^2+2*(n+1))*C(n-1,n-1)
=13*(1+C(n-1,1)+C(n-1,2)+...+C(n-1,n-1))
+14*(C(n-1,1)+2*C(n-1,2)+...+(n-1)*C(n-1,n-1))
+4*(C(n-1,1)+2^2*C(n-1,2)+...+(n-1)^2*C(n-1,n-1))
=13*2^(n-1)+7*(n-1)*2^(n-1)+n(n-1)*2^(n-1)
=(n^2+6*n+6)*2^(n-1)

より、(n^2+6*n+6)*2^(n-1)通り。

p^n*q^2、p^n*q*rの場合も調べてみましたが、p^n、p^n*qの場合と等しくなる例は
みつかりませんでした。p^n*q^2とp^n*q*rの相互間でもみつかりませんでした。

ご考察ありがとうございます。
この様に式で評価していけるもんなんですね。
自分はひたすら可能な限りでp^a;p^b*q (p=2,q=3で処理）で同じ数値が現れる部分を
拾い集めて
(a,b)=(4,2),(9,6),(18,14),(35,30),(68,62)
まで何とかあつめてみました。

見ていると{a}と{ｂ｝は2,3,4,5,6の差で結ばれているし
4=2^2,9=2^3+1,18=2^4+2,35=2^5+3,68=2^6+4
が見えてきたのでn=1,2,3,･････
a(n)=2^(n+1)+n-1
b(n)=2^(n+1)-2
これを元に先を拾うと
(a,b)=(133,126),(262,254),(519,510),(1032,1022),(2057,2046),････････････
と無限に重なる部分は存在していることになる。

当初の目的は自然数nを素因数分解した時に素数には影響されずその素因数タイプ（指数部分での分類)
をある数値と一対一に当てはめたいのであるが、前々回の調査での
<積の分割方法>;<和の完全分割方法>
のどちらを使っても、上記の重複が起こってしまう。
A034776;Gozinta numbers（A074206で現れる数列をソートして並べたもの)
これに対しIndukmuさんが提示した
0~ｎ^2-1の数字をただ一通りだけn個の要素を持つ２つの集合の和でできる可能性を与える
A273013での数値を使えば
p^4→35
p^2*q→42　;A034776ではどちらも8の値をとる。

p^9→24310
p^6*q→28644　　;A034776ではどちらも256の値をとる。

p^18→4537567650
p14*q→5094808200 ;A034776ではどちらも131072の値をとる。

p^35→ 56093138908331422716
p^30*q→60433201179644187664 ;A034776ではどちらも17179869184の値をとる。

･･････････････････

以下下の式を利用して値が定まっていく。
＊これらの計算ではどんな素数p,qでも
p^a→binomial(2*a,a)/2
p^b*q→(b^2+4*b+2)*binomial(2*b.b)/2
が使える。
A273013参照

と重なる値は分かれて行き、すべての素因数分解でのタイプは
この数値で一対一の対応が出来ることになれると思われます。
なお
n=2～1000までの数字を分類したものが
nの代表 ;素因数のタイプ ;指標の値(A277013で決まる値)　　
2 ;[1]~(p) ;1　(他の素数もすべて)
4 ;[2]~(p^2) ;3　(9,25,49,･･･など)
6 ;[1, 1]~(p*q) ;7 (10,14,15,･･･など)
8 ;[3]~(p^3) ;10 (27,125,343,･･･など)
16 ;[4]~(p^4) ;35
12 ;[2, 1]~(p^2*q) ;42
30 ;[1, 1, 1]~(p*q*r);115
32 ;[5]~ 以下同様 ;126
24 ;[3, 1]~ ;230
36 ;[2, 2]~ ;393
64 ;[6]~ ;462
60 ;[2, 1, 1]~ ;1158
48 ;[4, 1]~ ;1190
128 ;[7]~ ;1716
72 ;[3, 2]~ ;3030
210 ;[1, 1, 1, 1]~ ;3451
96 ;[5, 1]~ ;5922
256 ;[8]~ ;6435
120 ;[3, 1, 1]~ ;9350
180 ;[2, 2, 1]~ ;16782
144 ;[4, 2]~ ;20790
192 ;[6, 1]~ ;28644
216 ;[3, 3]~ ;30670
420 ;[2, 1, 1, 1]~ ;52422
240 ;[4, 1, 1]~ ;66290
288 ;[5, 2]~ ;131796
384 ;[7, 1]~ ;135564
360 ;[3, 2, 1]~ ;180990
432 ;[4, 3]~ ;264740
900 ;[2, 2, 2]~ ;334833
480 ;[5, 1, 1]~ ;430794
840 ;[3, 1, 1, 1]~ ;583670
768 ;[8, 1]~ ;630630
576 ;[6, 2]~ ;788634
720 ;[4, 2, 1]~ ;1636740
864 ;[5, 3]~ ;2050020
960 ;[6, 1, 1]~ ;2628780
で分類されていく。

p^n*qをk個の約数に順序を区別して分割する方法の数をb_1,b_2,b_3,…,b_n,b_(n+1)とすると、
不分割の場合はいうまでもなくb_1=1で、
2分割の場合は、n個のpを2グループに分割してqをいずれかのグループに配置する場合と、
n個のpが不分割で両端のいずれかにqを配置する場合があるので、
b_2=2*C(n-1,1)+2=2*C(n,1)
3分割の場合は、n個のpを3グループに分割してqをいずれかのグループに配置する場合と、
n個のpを2グループに分割して両端と間の1個の隙間のいずれかにqを配置する場合があるので、
b_3=3*C(n-1,2)+3*C(n-1,1)=3*C(n,2)
…
k分割の場合は、n個のpをkグループに分割してqをいずれかのグループに配置する場合と、
n個のpを(k-1)グループに分割して両端と間の(k-2)個の隙間のいずれかにqを配置する場合があるので、
b_k=k*C(n-1,k-1)+k*C(n-1,k-2)=k*C(n,k-1)
…
n分割の場合は、n個のpをnグループに分割してqをいずれかのグループに配置する場合と、
n個のpを(n-1)グループに分割して両端と間の(n-2)個の隙間のいずれかにqを配置する場合があるので、
b_n=n*C(n-1,n-1)+n*C(n-1,n-2)=n*C(n,n-1)
(n+1)分割の場合は、n個のpをnグループに分割して両端と間の(n-1)個の隙間のいずれかにqを配置する場合のみなので、
b_(n+1)=(n+1)*C(n-1,n-1)=(n+1)*C(n,n)
となります。
p^n*qをk個の約数に順序を区別して分割する方法の数はb_1+b_2+b_3+…+b_n+b_(n+1)なので、
b_1+b_2+b_3+…+b_n+b_(n+1)
=1+2*C(n,1)+3*C(n,2)+…+k*C(n,k-1)+…+n*C(n,n-1)+(n+1)*C(n,n)
=(1+C(n,1)+…+C(n,n))+(C(n,1)+2*C(n,2)+…+n*C(n,n))
=2^n+n*2^(n-1)=(n+2)*2^(n-1)
となります。

0～N^2-1の数字をただ一通りだけN個の要素を持つ2つの集合の和でできる可能性を与えるA273013での数値は、
b_1^2+b_2^2+…+b_n^2+b_(n+1)^2+b_1*b_2+b_2*b_3+…+b_(n-1)*b_n+b_n*b_(n+1)なので、
N=p^n*qの場合、
b_1^2+b_2^2+…+b_n^2+b_(n+1)^2+b_1*b_2+b_2*b_3+…+b_(n-1)*b_n+b_n*b_(n+1)
=(1/2)*[b_1^2+(b_1+b_2)^2+(b_2+b_3)^2+…+(b_n+b_(n+1))^2+b_(n+1)^2]
=(1/2)*[1^2+(2*C(n,1)+1)^2+(3*C(n,2)+2*C(n,1))^2
+…+(k*C(n,k-1)+(k-1)*C(n,k-2))^2+…+(n*C(n,n-1)+(n-1)*C(n,n-2))^2
+((n+1)*C(n,n)+n*C(n,n-1))^2+((n+1)*C(n,n))^2]
=(1/2)*[1^2+(2*C(n,1)+C(n,0))^2+(3*C(n,2)+2*C(n,1))^2
+…+(k*C(n,k-1)+(k-1)*C(n,k-2))^2
+…+(n*C(n,n-1)+(n-1)*C(n,n-2))^2
+((n+1)*C(n,n)+n*C(n,n-1))^2+((n+1)*C(n,n))^2]
ですが、
k*C(n,k-1)+(k-1)*C(n,k-2)
=k*n!/(n-k+1)!/(k-1)!+(k-1)*n!/(n-k+2)!/(k-2)!
=k*(n-k+2)*n!/(n-k+2)!(k-1)!+(k-1)^2*n!/(n-k+2)!/(k-1)!
=(n*k+1)*n!/(n-k+2)!/(k-1)!
=(n*k+1)/(n+1)*C(n+1,k-1)
より、
b_1^2+b_2^2+…+b_n^2+b_(n+1)^2+b_1*b_2+b_2*b_3+…+b_(n-1)*b_n+b_n*b_(n+1)
=(1/2)*[1^2+((2*n+1)^2+…+((n*k+1)*n!/(n-k+2)!/(k-1)!)^2+…+(n^2+n+1)^2+(n+1)^2)]
=(1/2)*[(n+1)/(n+1)*C(n+1,0)^2+((n*2+1)/(n+1)*C(n+1,1))^2+…+((n*k+1)/(n+1)*C(n+1,k-1))^2
+((n*(k+1)+1)/(n+1)*C(n+1,k))^2+…+((n^2+n+1)/(n+1)*C(n+1,n))^2+((n^2+2n+1)/(n+1)*C(n+1,n+1))^2]
となります。

(1+x)^m*(1+x)^(n-m)=(1+x)^nのx^kの係数を比較すると、
C(m,0)*C(n-m,k)+…+C(m,k)*C(n-m,0)=C(n,k)で、n=2m,k=mとすると、
C(m,0)*C(m,m)+…+C(m,m)*C(m,0)=C(m,0)^2+…+C(m,m)^2=C(2m,m)

(d/dx)[(1+x)^m]*(1+x)^(n-m)=m(1+x)^(m-1)*(1+x)^(n-m)=m*(1+x)^(n-1)のx^kの係数を比較すると、
C(m,1)*C(n-m,k)+2*C(m,2)*C(n-m,k-1)+…+k*C(m,k)*C(n-m,1)+(k+1)*C(m,k+1)*C(n-m,0)=m*C(n-1,k)で、n=2m,k=mとすると、
C(m,1)*C(m,m-1)+2*C(m,2)*C(m,m-2)+…+(m-1)*C(m,m-1)*C(m,1)+m*C(m,m)*C(m,0)
=C(m,1)^2+…+m*C(m,m)^2=m*C(2*m-1,m-1)=m*C(2m-1,m)=m*(2m-1)!/m!/(m-1)!=(m/2)*C(2m,m)

(d^2/dx^2)[(1+x)^m]*(1+x)^(n-m)=m(m-1)(1+x)^(m-2)*(1+x)^(n-m)=m(m-1)*(1+x)^(n-2)のx^kの係数を比較すると、
2*C(m,2)*C(n-m,k)+3*2*C(m,3)*C(n-m,k-1)+…+(k+1)*k*C(m,k+1)*C(n-m,1)+(k+2)*(k+1)*C(m,k+2)*C(n-m,0)=m(m-1)*C(n-2,k)で、n=2m,k=mとすると、
2*C(m,2)*C(m,m-2)+3*2*C(m,3)*C(m,m-3)+…+(m-1)*(m-2)*C(m,m-1)*C(m,1)+m*(m-1)*C(m,m)*C(m,0)
2*C(m,2)^2+3*2*C(m,3)^2+…+m*(m-1)*C(m,m)^2
=m(m-1)*C(2m-2,m-2)=m*(m-1)*C(2m-2,m)=m*(m-1)*(2m-2)!/m!/(m-2)!=(m-1)*(2m-2)!/(m-1)!/(m-2)!
=(m-1)^2*C(2*m-2,m-1)

これらを用いると、

(n*(k+1)+1)^2=n^2*k^2+2*n*k+1=n^2*k(k-1)+n(3*n+2)*k+(n+1)^2
より

Σ_(k=0)^(n+1)[1/(n+1)^2*C(n+1,k)^2]=C(2n+2,n+1)
Σ_(k=0)^(n+1)[n(3n+2)*k/(n+1)^2*C(n+1,k)^2]=n(3n+2)/(n+1)/2*C(2n+2,n+1)
Σ_(k=0)^(n+1)[n^2*k(k-1)/(n+1)^2*C(n+1,k)^2]=n^4/(n+1)^2*C(2n,n)
なので、

b_1^2+b_2^2+…+b_n^2+b_(n+1)^2+b_1*b_2+b_2*b_3+…+b_(n-1)*b_n+b_n*b_(n+1)
=(1/2)[C(2n+2,n+1)+n(3n+2)/(n+1)/2*C(2n+2,n+1)+n^4/(n+1)^2*C(2n,n)]
=(1/2)[((2n+2)(2n+1)+n(3n+2)(2n+1)+n^4)/(n+1)^2*C(2n,n)]
=(1/2)*(n^4+6n^3+11n^2+8n+2)/(n+1)^2*C(2n,n)
=(1/2)*(n^2+4n+2)*C(2n,n)
となります。