😊出会いの泉😊

2544通りですか？

正解です。

X,Y,Z,Wの銘柄を1回ずつ飲むと100+200+300+400=1000円で、残りの500円を分配する方法は、
XW,YZ,XXZ,XYY,XXXY,XXXXXの6つの場合があり、
XYZWとXWの場合、6!/(2!*1!*1!*2!)=180通り
XYZWとYZの場合、6!/(1!*2!*2!*1!)=180通り
XYZWとXXZの場合、7!/(3!*1!*2!*1!)=420通り
XYZWとXYYの場合、7!/(2!*3!*1!*1!)=420通り
XYZWとXXXYの場合、8!/(4!*2!*1!*1!)=840通り
XYZWとXXXXXの場合、9!/(6!*1!*1!*1!)=504通り
より、合計180+180+420+420+840+504=2544通り

これを一般化して
n(円)の資金をもって
毎日単価が1,2,3,･･･,k (円) ただしk<n
の各ビールの銘柄をどれか一つずつ毎日飲んでいき
資金を使い果たしたとき、少なくとも全銘柄のビールは飲んだことが起こる
お金の使い方の方法は総計どれだけ？
これを明示式で示せるか？
またはこれを読み取れる母関数は作れるのか？
ちなみに
k=2のとき
gf=1+1/(1-x-x^2)-1/(1-x)-1/(1-x^2)
k=3のとき
gf= x^6/(1-x-x^2-x^3)*(1/((1-x)*(1-x-x^2))+1/((1-x^2)*(1-x-x^2))+1/((1-x)*(1-x-x^3))+1/((1-x^3)*(1-x-x^3))+1/((1-x^2)*(1-x^2-x^3))+1/((1-x^3)*(1-x^2-x^3)))

k=4のときの母関数は如何に？
どなたかヒントを

>n(円)の資金をもって
>毎日単価が1,2,3,･･･,k (円) ただしk<n
>の各ビールの銘柄をどれか一つずつ毎日飲んでいき
>資金を使い果たしたとき、少なくとも全銘柄のビールは飲んだことが起こる
>お金の使い方の方法は総計どれだけ？
>これを明示式で示せるか？

お金の使い方の総数をa(n)とすると、a(n)は次の式で計算できます。
a(n)=[x^n](∫_[z=0,∞]exp(-z)*Π[j=1～k](exp(x^j*z)-1)dz)．

例えばk=4の場合：
exp(-z)*Π[j=1～4](exp(x^j*z)-1)を展開すると、次のようになります。
exp(-z)*Π[j=1～4](exp(x^j*z)-1)
=exp(-z)*(exp(x*z)-1)*(exp(x^2*z)-1)*(exp(x^3*z)-1)*(exp(x^4*z)-1)
=exp((-1+x+x^2+x^3+x^4)*z)
-exp((-1+x+x^2+x^3)*z)-exp(-1+x+x^2+x^4)-exp(-1+x+x^3+x^4)-exp(-1x^2+x^3+x^4)
+exp((-1+x+x^2)*z)+exp((-1+x+x^3)*z)+exp((-1+x+x^4)*z)+exp((-1+x^2+x^3)*z)+exp((-1+x^2+x^4)*z)+exp((-1+x^3+x^4)*z)
-exp((-1+x)*z)-exp((-1+x^2)*z)-exp((-1+x^3)*z)-exp((-1+4)*z)
+exp((-1)*z).

この展開式をz=0～∞の範囲で積分すればxの有理関数が得られます。
その有理関数をマクローリン展開したときのx^nの係数がa(n)です。
a(n)
=[x^n](-1/(-1+x+x^2+x^3+x^4)
+1/(-1+x+x^2+x^3)+1/(-1+x+x^2+x^4)+1/(-1+x+x^3+x^4)+1/(-1+x^2+x^3+x^4)
-1/(-1+x+x^2)-1/(-1+x+x^3)-1/(-1+x+x^4)-1/(-1+x^2+x^3)-1/(-1+x^2+x^4)-1/(-1+x^3+x^4)
+1/(-1+x)+1/(-1+x^2)+1/(-1+x^3)+1/(-1+x^4)
-1/(-1)).

atさん凄いです。
仕方なくn=10から20までの数値をひとつずつ算出して（御蔭で結果的に１ヵ所計算ミスを起こしていることを発見)
k=3での母関数を真似して色々試していたんですがそのすべてが弾かれてしまい、途方に暮れていました。
最初の項だけが一致しているが後は無駄な努力でした。
積分の力で解決されるとは思ってもない道筋でした。
最終型は集合の要素の個数を求める式に類似していますね。（結構覚え易い)
ということはk=3での母関数gfはよりスッキリした
1/(1-x-x^2-x^3)-1/(1-x-x^2)-1/(1-x-x^3)-1/(1-x^2-x^3)+1/(1-x)+1/(1-x^2)+1/(1-x^3)-1
でも可能というわけですね。

世の中には物事の本質を見事に掴んでしまう人がいることに感激です。
目から鱗でこんな一般式まで分かってしまうことが驚異でうれしいです。
大変ありがとうございました。
母関数の形にしなくてもコンピュータで数値だけ求めたいなら直接積分型から
gp > F(k)=intnum(z=0,[oo,1],exp(-z)*prod(j=1,k,exp(x^j*z)-1))
で定義しておけばk=9での値は
gp > for(n=45,60,print(n";"round(polcoeff(F(9),n))))
45;362880
46;1814400
47;8467200
48;31752000
49;110255040
50;352416960
51;1073580480
52;3125969280
53;8808347520
54;24105906720
55;64431521280
56;168662148480
57;433730626560
58;1097903933280
59;2740858737120
60;6757827995520
等で一発で求まっていくのですね。（あのめんどくさい作業が夢のようです。)

毎日単価が1円か2円の各ビールの銘柄をどれか一つずつ毎日飲むときの場合の数の生成関数については、

1+(x+x^2)+(x+x^2)^2+…=1/(1-x-x^2)

で表され、少なくとも両銘柄のビールを飲んだときの場合の数の生成関数については、

(1+(x+x^2)+(x+x^2)^2+…)-(1+x+x^2+…)-(1+x^2+x^4+…)+1
=1/(1-x-x^2)-1/(1-x)-1/(1-x^2)+1

で表されます。

(x+x^2)^m=C(m,0)x^m+C(m,1)x^(m+1)+...+C(m,j)x^(m+j)+...+C(m,m)x^(2m)

なので、n(円)の資金をもって毎日単価が1円か2円の各ビールの銘柄をどれか一つずつ毎日飲んでいき
資金を使い果たしたときのお金の使い方の方法の数は、

Σ_{k=0～floor(n/2)}C(n-k,k)

で表され、少なくとも両銘柄のビールを飲んだときの場合の数については、

n=2q+1のとき
Σ_{k=0～floor(n/2)}C(n-k,k) - C(n,0)

n=2qのとき
Σ_{k=0～floor(n/2)}C(n-k,k) - C(n,0) -C(q,q)

となります。F(n)=Σ_{k=0～floor(n/2)}C(n-k,k)とすると、
F(1)=1,F(2)=2,F(n)=F(n-1)+F(n-2)
となって、F(n)はフィボナッチ数列となります。少なくとも両銘柄のビールを飲んだときの場合の数については、
n=2q+1のときF(n)-1、n=2qのときF(n)-2となります。

毎日単価が1円,2円,3円の各ビールの銘柄をどれか一つずつ毎日飲むときの場合の数の生成関数については、

1+(x+x^2+x^3)+(x+x^2+x^3)^2+…=1/(1-x-x^2-x^3)

で表され、少なくとも全銘柄のビールを飲んだときの場合の数の生成関数については、

(1+(x+x^2+x^3)+(x+x^2+x^3)^2+…)
-(1+(x+x^2)+(x+x^2)^2+…)-(1+(x+x^3)+(x+x^3)^2+…)-(1+(x^2+x^3)+(x^2+x^3)^2+…)
+(1+x+x^2+…)+(1+x^2+x^4+…)+(1+x^3+x^6+…)-1
=1/(1-x-x^2-x^3)-1/(1-x-x^2)-1/(1-x-x^3)-1/(1-x^2-x^3)+1/(1-x)+1/(1-x^2)+1/(1-x^3)-1

で表されます。

2項係数C(n,k)に倣って3項係数C(n,k1,k2)=n!/(k1!k2!(n-k1-k2)!)を用いると、

(x+x^2+x^3)^m=Σ_{k1≧0,k2≧0,k1+k2≦m}C(m,k1,k2)[x^(m-k1-k2)*x^(2*k1)*x^(3*k2)]

なので、n(円)の資金をもって毎日単価が1円,2円,3円の各ビールの銘柄をどれか一つずつ毎日飲んでいき
資金を使い果たしたときのお金の使い方の方法の数は、

T(n)=Σ_{i=0～floor(n/2),j=0～floor(n/3),i+j≦n}C(n-i-j,i,j)

で表され、T(1)=1,T(2)=2,T(3)=4,T(n)=T(n-1)+T(n-2)+T(n-3)というトリボナッチ数列となります。

n(円)の資金をもって毎日単価が1円か3円の各ビールの銘柄をどれか一つずつ毎日飲んでいき
資金を使い果たしたときのお金の使い方の方法の数については、

(x+x^3)^m=C(m,0)x^m+C(m,1)x^(m+2)+...+C(m,j)x^(m+2*j)+...+C(m,m)x^(3m)

より、

n=1のときC(1,0)
n=2のときC(2,0)
n=3のときC(3,0)+C(1,1)
n=4のときC(4,0)+C(2,1)
n=5のときC(5,0)+C(3,1)
n=6のときC(6,0)+C(4,1)+C(2,2)
n=7のときC(7,0)+C(5,1)+C(3,2)
n=8のときC(8,0)+C(6,1)+C(4,2)

となって、一般には、

Σ_{k=0～floor(n/3)}C(n-2*k,k)

で表され、Σ_{k=0～floor(n/3)}C(n-2*k,k)=G(n+1)とすると、
G(1)=1,G(2)=1,G(3)=2,G(n)=G(n-1)+G(n-3)となって、これはナラヤナ数列(Narayana sequence)といいます。

n(円)の資金をもって毎日単価が2円か3円の各ビールの銘柄をどれか一つずつ毎日飲んでいき
資金を使い果たしたときのお金の使い方の方法の数については、

(x^2+x^3)^m=C(m,0)x^2m+C(m,1)x^(2m+1)+...+C(m,j)x^(1m+j)+...+C(m,m)x^(3m)

より、

n=2のときC(1,0)
n=3のときC(1,1)
n=4のときC(2,0)
n=5のときC(2,1)
n=6のときC(3,0)+C(2,2)
n=7のときC(3,1)
n=8のときC(4,0)+C(3,2)
n=9のときC(4,1)+C(3,3)
n=10のときC(5,0)+C(4,2)
n=11のときC(5,1)+C(4,3)
n=12のときC(6,0)+C(5,2)+C(4,4)

となって、一般には、

Σ_{ceil(n/3)≦k≦floor(n/2)}C(k,n-2*k)

で表され、これをH(n)とすると、H(2)=1,H(3)=1,H(4)=1,H(n)=H(n-2)+H(n-3)
となって、これはパドヴァン数列(Padovan sequence)といいます。

n(円)の資金をもって毎日単価が1円,2円,3円の各ビールの銘柄をどれか一つずつ毎日飲んでいき
資金を使い果たしたとき、少なくとも全銘柄のビールを飲んだときのお金の使い方の方法の数については、

T(n)-F(n)-G(n)-H(n)+r(n)
r(n)=3(n mod 6=0),1(n mod 6=1,5),2(n mod 6=2,3,4)

となります。n=1～10で、

T(n) 1,2,4,7,13,24,44,81,149,274
F(n) 1,2,3,5, 8,13,21,34, 55, 89
G(n) 1,1,2,3, 4, 6, 9,13, 19, 28
H(n) 0,1,1,1, 2, 2, 3, 4, 5, 7

となりますが、T(n)-F(n)-G(n)-H(n)+r(n)は、n=1～10で、
0,0,0,0,0,6,12,32,72,152となります。

毎日単価が1円,2円,3円,4円の各ビールの銘柄をどれか一つずつ毎日飲むときの場合の数の生成関数については、

1+(x+x^2+x^3+x^4)+(x+x^2+x^3+x^4)^2+…=1/(1-x-x^2-x^3-x^4)

で表され、少なくとも全銘柄のビールを飲んだときの場合の数の生成関数については、

(1+(x+x^2+x^3+x^4)+(x+x^2+x^3+x^4)^2+…)
-(1+(x+x^2+x^3)+(x+x^2+x^3)^2+…)-(1+(x+x^2+x^4)+(x+x^2+x^4)^2+…)
-(1+(x+x^3+x^4)+(x+x^3+x^4)^2+…)-(1+(x^2+x^3+x^4)+(x^2+x^3+x^4)^2+…)
+(1+(x+x^2)+(x+x^2)^2+…)+(1+(x+x^3)+(x+x^3)^2+…)+(1+(x^2+x^3)+(x^2+x^3)^2+…)
+(1+(x+x^4)+(x+x^4)^2+…)+(1+(x^2+x^4)+(x^2+x^4)^2+…)+(1+(x^3+x^4)+(x^3+x^4)^2+…)
-(1+x+x^2+…)-(1+x^2+x^4+…)-(1+x^3+x^6+…)-(1+x^4+x^8+…)+1
=1/(1-x-x^2-x^3-x^4)
-1/(1-x-x^2-x^3)-1/(1-x-x^2-x^4)-1/(1-x-x^3-x^4)-1/(1-x^2-x^3-x^4)
+1/(1-x-x^2)+1/(1-x-x^3)+1/(1-x^2-x^3)+1/(1-x-x^4)+1/(1-x^2-x^4)+1/(1-x^3-x^4)
-1/(1-x)-1/(1-x^2)-1/(1-x^3)-1/(1-x^4)
+1

で表されます。