😊出会いの泉😊

AI と BC の交点を D とすると、
BD : CD = BA : AC = √50 : √80 = √5 : 2√2 = (-5+2√10) : (8-2√10)

よって、
D ( (38-2√10)/3, (43-10√10)/3 )
より
AI : ID = AB : BD = √50 : (-5+8√10)√26/3

あとはこれを内分点の公式につっこんで整理すればいいはず……ですが、数字が大きくなりすぎるのでギブアップ。

A(a,b),B(c,d),C(e,f)とすると
直線ABは (d-b)x-(c-a)y-(ad-bc)=0
直線BCは (f-d)x-(e-c)y-(cf-de)=0
直線CAは (b-f)x-(a-e)y-(eb-fa)=0
直線ABからk離れた直線は (d-b)x-(c-a)y-(ad-bc)-k√{(d-b)^2+(c-a)^2}=0 … (1)
直線BCからk離れた直線は (f-d)x-(e-c)y-(cf-de)-k√{(f-d)^2+(e-c)^2}=0 … (2)
直線CAからk離れた直線は (b-f)x-(a-e)y-(eb-fa)-k√{(b-f)^2+(a-e)^2}=0 … (3)
(1)(2)からkを消去して
{(f-d)√{(d-b)^2+(c-a)^2}-(d-b)√{(f-d)^2+(e-c)^2}}x
-{(e-c)√{(d-b)^2+(c-a)^2}-(c-a)√{(f-d)^2+(e-c)^2}}y
=(cf-de)√{(d-b)^2+(c-a)^2}-(ad-bc)√{(f-d)^2+(e-c)^2} … (4)
(2)(3)からkを消去して
{(b-f)√{(f-d)^2+(e-c)^2}-(f-d)√{(b-f)^2+(a-e)^2}}x
-{(a-e)√{(f-d)^2+(e-c)^2}-(e-c)√{(b-f)^2+(a-e)^2}}y
=(eb-fa)√{(f-d)^2+(e-c)^2}-(cf-de)√{(b-f)^2+(a-e)^2} … (5)
(4)(5)からyを消去して整理すると
x={a√{(f-d)^2+(e-c)^2}+c√{(b-f)^2+(a-e)^2}+e√{(d-b)^2+(c-a)^2}}
/{√{(f-d)^2+(e-c)^2}+√{(b-f)^2+(a-e)^2}+√{(d-b)^2+(c-a)^2}}
(4)(5)からxを消去して整理すると
y={b√{(f-d)^2+(e-c)^2}+d√{(b-f)^2+(a-e)^2}+f√{(d-b)^2+(c-a)^2}}
/{√{(f-d)^2+(e-c)^2}+√{(b-f)^2+(a-e)^2}+√{(d-b)^2+(c-a)^2}}}
よってA(a,b),B(c,d),C(e,f)を頂点とする内心の座標は
(
{a√{(f-d)^2+(e-c)^2}+c√{(b-f)^2+(a-e)^2}+e√{(d-b)^2+(c-a)^2}}
/{√{(f-d)^2+(e-c)^2}+√{(b-f)^2+(a-e)^2}+√{(d-b)^2+(c-a)^2}}
,
{b√{(f-d)^2+(e-c)^2}+d√{(b-f)^2+(a-e)^2}+f√{(d-b)^2+(c-a)^2}}
/{√{(f-d)^2+(e-c)^2}+√{(b-f)^2+(a-e)^2}+√{(d-b)^2+(c-a)^2}}}
)
見やすいように
√{(f-d)^2+(e-c)^2}=BC, √{(b-f)^2+(a-e)^2}=CA, √{(d-b)^2+(c-a)^2}=AB
と書けば、内心の座標は
((aBC+cCA+eAB)/(BC+CA+AB),(bBC+dCA+fAB)/(BC+CA+AB))

A(3,2),B(10,1),C(11,6)の場合は
BC=√{(6-1)^2+(11-10)^2}=√26
CA=√{(2-6)^2+(3-11)^2}=4√5
AB=√{(1-2)^2+(10-3)^2}=5√2
なので、内心の座標は
((3√26+40√5+55√2)/(√26+4√5+5√2),(2√26+4√5+30√2)/(√26+4√5+5√2))
=
((124+25√10-10√13-√130)/18,(76-5√10+20√13-7√130)/18)
※有理化にはWolframAlphaを使いました。

D ( (38-2√10)/3, (43-10√10)/3 )
は
D( (25+2√10)/3.(10√10-22)/3 )
に
AI : ID = AB : BD = √50 : (-5+8√10)√26/3
は
AI : ID = AB : BD = √50 : (-5+2√10)√26/3
となりませんか？

> ((124+25√10-10√13-√130)/18,(76-5√10+20√13-7√130)/18)
> ※有理化にはWolframAlphaを使いました。

方法は異なりますが最終結果は同じになっています。
(コンピュータで数値だけ求めたい時はこの式を利用していました。)
有理化もコツコツ進めて行きました。（すごく面倒でした。)

> D( (25+2√10)/3.(10√10-22)/3 )
> AI : ID = AB : BD = √50 : (-5+2√10)√26/3
> となりませんか？

そうかもしれません。
内分比をうっかり逆にしてたかも？
なんにせよ、この計算は暗算でやるもんじゃないですね……。