😊出会いの泉😊

例えば123-70√2が24に近いなら、
115-70√2は16に(42-15√3よりも)近くなると思いますが、
16のときに42-15√3としているのはなぜでしょうか。
また逆の見方で、もし「自然数に近づけていく」のが目的ならば
右辺の自然数を変更することで
16≒42-15√3
16≒115-70√2
16≒260-63√15
のように左辺の値を一定にしたり
1≒27-15√3
2≒101-70√2
3≒247-63√15
のように8の倍数以外にすることもできますが、
左辺の値が8の倍数のみとなっているのは
8の倍数から右辺を導出する決まった手法があるということでしょうか。

> 左辺の値が8の倍数のみとなっているのは
> 8の倍数から右辺を導出する決まった手法があるということでしょうか。


ある本を読んでいて
m:=1/2*(sqrt(n+1)+sqrt(n-1))･････････①
と置くとき
1/m=sqrt(n+1)-sqrt(n-1)･･････････････②
m^2=1/2*(n+sqrt(n^2-1))･･･････････････③
n-m^2=1/(4*m^2)･･････････････････････④
が成り立ち
これらの等式を組み合わせることで
1/(8*m^5*(m+sqrt(n))^2)=(m-sqrt(n))^2/(8*m^5*(m^2-n)^2)
=(m^2-2*m*sqrt(n)+n)/(m/2)
=2*(m-2*sqrt(n)+n/m)
=(2*n+1)*sqrt(n+1)-(2*n-1)*sqrt(n-1)-4*sqrt(n)･･････････････(*)
なる等式が成立することに成る。
左辺を見ることで右辺の値はO(1/(n^(5/2)*n)=O(1/n^(3+1/2)のオーダーでほゞ無視出来ることができる。

この巧みな式を見てn+1,n-1,nがそれぞれ平方根√が外れる各nに対応して
(2*n+1)*sqrt(n+1)≒(2*n-1)*sqrt(n-1)+4*sqrt(n)
(2*n-1)*sqrt(n-1)≒(2*n+1)*sqrt(n+1)-4*sqrt(n)
4*sqrt(n)≒(2*n+1)*sqrt(n+1)-(2*n-1)*sqrt(n-1)
という風に左辺の自然数を右辺の2つの無理数で構成出来るなと思って先程の等式もどきを作っていきました。

なおここで第３番目の等式を両辺平方して
16*n≒8*n^3+10*n-2*(4*n^2-1)*sqrt(n^2-1)
÷2から
8*n≒4*n^3+5*n-(4*n^2-1)*sqrt(n^2-1)･･⑤
なる式を利用すれば
8の倍数の自然数が右辺の一つの無理数で近似出来ることが可能となる。

この⑤から構成していきました。


らすかるさんの指摘の様に
gp > forprime(p=2,100,for(n=1,1000000,if(frac(n*sqrt(p)) < 0.000001,print(n";"p))))
978122;3
902702;7
283009;17
566018;17
345777;19
254813;29
509626;29
528641;41
424802;43
829254;47
528896;53
951113;61
977001;89
594030;97
や
gp > forprime(p=2,100,for(n=1,10000000,if(frac(n*sqrt(p)) > 0.9999999,print(n";"p))))
9369319;2
7865521;3
7465176;5
3096720;7
9504180;11
2298912;17
4508361;19
9016722;19
5412001;23
8193638;29
9600319;31
1311360;41
3697884;43
7395768;43
6191808;47
8142716;61
2874480;71
5748960;71
8623440;71
4684249;73
4121279;79
8242558;79
9005009;89
6377352;97
なる素数や整数を組み合わせれば(bとpを上の組み合わせに取っておく意味)
a+b*sqrt(p)
はaを調節することで一個の無理数でなんぼでも自然数すべてを好きな近似精度で作り出すことは可能となるんでした。

しかし(*)の等式を作り出せるセンスにほどほど感心しました。

なるほど、やはり8の倍数にだけ使える式があったのですね。よくわかりました。

GAI さんが何をしたいのか全くわからないんですが、
16=42-15*sqrt(3) が特別な近似式であるかのように扱われている理由はどこにあるんです？

> 16=42-15*sqrt(3) が特別な近似式であるかのように扱われている理由はどこにあるんです？

らすかるさんへの返事の中の
8*n≒4*n^3+5*n-(4*n^2-1)*sqrt(n^2-1)･･⑤
なる式から
n=2,7,26で生まれる式が以下の式となる意味であり
16=42-15*sqrt(3)
56=1407-780*sqrt(3)
208=70434-40545*sqrt(3)
その
16=42-15*sqrt(3) が特別な近似式というつもりはありません。

上の3つの式から
sqrt(3)=(42-16)/15=26/15
sqrt(3)=(1407-56)/780=1351/780
sqrt(3)=(70434-208)/40545=70226/40545
等が発生します。(前に掲示している中から選んでいるだけです。)

ここにsqrt(3)の連分数を途中で打ち切って分数としていく手順を自動でやらせていくと
gp > contfracpnqn(contfrac(sqrt(3)),20)
%208 =
[1 2 5 7 19 26 71 97 265 362 989 1351 3691 5042 13775 18817 51409 70226 191861 262087 716035]

[1 1 3 4 11 15 41 56 153 209 571 780 2131 2911 7953 10864 29681 40545 110771 151316 413403]

の様に右に行くにしたがってよりsqrt(3)へ近似していけます。
この流れの中に
26/15,1351/780,70226/40545もいますから16=42-15*sqrt(3)が特別の式との解釈は "はて？"
と思ってしまいます。

ああ、具体的な方がいいかと思って1つ抽出したら質問の意図が伝わりませんでした。
5番の式で「8n=」の形にした式だけ特別視しているのはなぜですか？

この式を作るときに、その前に記載された式を平方して整理して得られる
4*n^3-3*n-(4*n^2-1)*sqrt(n^2-1)≒0
の両辺に突然 8n を加えてできたのが 5 番ですよね。
ここで両辺に 7n を足せば 7 の倍数の式ができるでしょうし、9n を足せば 9 の倍数の式ができるんじゃないでしょうか？
8n を選択する必然性はなんでしょう？

> 5番の式で「8n=」の形にした式だけ特別視しているのはなぜですか？

この式を作るときに、その前に記載された式を平方して整理して得られる
4*n^3-3*n-(4*n^2-1)*sqrt(n^2-1)≒0
と記載されている部分は

8*n≒4*n^3+5*n-(4*n^2-1)*sqrt(n^2-1)
をなぜ
3*n≒4*n^3-(4*n^2-1)*sqrt(n^2-1)
としないのか？
と解釈していいですか？

理由はこうすることを気付かなかったです。
2で割れるからそれで終わりと思い込み。そのままで数値で確認に行っていました。

これからは
6≒32-15*sqrt(3)
9≒108-35*sqrt(8)=108-70*sqrt(2)
12≒256-63*sqrt(15)
････････････
で掲載していたことでしょう。

お粗末様でした。

> 3*n≒4*n^3-(4*n^2-1)*sqrt(n^2-1)

さらに言えば、3n と 4n^3 を左右に分ける意味もないと思います。
n は具体的な整数を代入することを想定しているんでしょうかた、整数の近似式に整数を足す項があっては意義が薄いです。

一方で、これを逆に平方根の有理近似式として
√(n^2-1) = (4n^3-3n)/(4n^2-1)
とした式は何かに使えそうですね。

DD++さんからのアドバイスを受けてsqrt(n^2-1)≒(4*n^3-3*n)/(4*n^2-1)
の活用を見てみました。
時間の関係でプログラムのままの姿で申し訳ありません。


gp > for(n=1,100,if(core(n^2-1)==3,\
print(n,";sqrt(3)=",(4*n^3-3*n)/(4*n^2-1)/sqrtint((n^2-1)/3))))
2;sqrt(3)=26/15
7;sqrt(3)=1351/780
26;sqrt(3)=70226/40545
97;sqrt(3)=3650401/2107560
これに対して連分数からの近似
gp > contfracpnqn(contfrac(sqrt(3)),24)
%227 =
[1 2 5 7 19 26 71 97 265 362 989 1351
3691 5042 13775 18817 51409 70226
191861 262087 716035 978122 2672279 3650401
9973081]

[1 1 3 4 11 15 41 56 153 209 571 780
2131 2911 7953 10864 29681 40545
110771 151316 413403 564719 1542841 2107560
5757961]

-----------------------------------------------------------

for(n=1,10000,if(core(n^2-1)==5,\
print(n,";sqrt(5)=",(4*n^3-3*n)/(4*n^2-1)/sqrtint((n^2-1)/5))))
9;sqrt(5)=2889/1292
161;sqrt(5)=16692641/7465176
2889;sqrt(5)=96450076809/43133785636
これに対して連分数からの近似
gp > contfracpnqn(contfrac(sqrt(5)),20)
%222 =
[2 9 38 161 682 2889 12238 51841 219602 930249 3940598 16692641
70711162 299537289 1268860318 5374978561 22768774562 96450076809
408569081798 1730726404001 7331474697802]

[1 4 17 72 305 1292 5473 23184 98209 416020 1762289 7465176
31622993 133957148 567451585 2403763488 10182505537 43133785636
182717648081 774004377960 3278735159921]

-------------------------------------------------------------

gp > for(n=1,10000,if(core(n^2-1)==6,\
print(n,";sqrt(6)=",(4*n^3-3*n)/(4*n^2-1)/sqrtint((n^2-1)/6))))
5;sqrt(6)=485/198
49;sqrt(6)=470449/192060
485;sqrt(6)=456335045/186298002
4801;sqrt(6)=442644523201/180708869880
これに対して連分数からの近似
gp > contfracpnqn(contfrac(sqrt(6)),24)
%226 =
[2 5 22 49 218 485 2158 4801 21362 47525 211462 470449
2093258 4656965 20721118 46099201 205117922 456335045
2030458102 4517251249 20099463098 44716177445 198964172878
442644523201 1969542265682]

[1 2 9 20 89 198 881 1960 8721 19402 86329 192060
854569 1901198 8459361 18819920 83739041 186298002
828931049 1844160100 8205571449 18255302998 81226783441
180708869880 804062262961]

-------------------------------------------------------------

gp > for(n=1,10000,if(core(n^2-1)==7,\
print(n,";sqrt(7)=",(4*n^3-3*n)/(4*n^2-1)/sqrtint((n^2-1)/7))))
8;sqrt(7)=2024/765
127;sqrt(7)=8193151/3096720
2024;sqrt(7)=33165873224/12535521795
これに対して連分数からの近似
gp > contfracpnqn(contfrac(sqrt(7)),36)
%233 =
[2 3 5 8 37 45 82 127 590 717 1307 2024
9403 11427 20830 32257 149858 182115 331973
514088 2388325 2902413 5290738 8193151
38063342 46256493 84319835 130576328 606625147 737201475
1343826622 2081028097 9667939010 11748967107 21416906117 33165873224
154080399013]

[1 1 2 3 14 17 31 48 223 271 494 765
3554 4319 7873 12192 56641 68833 125474
194307 902702 1097009 1999711 3096720
14386591 17483311 31869902 49353213 229282754 278635967
507918721 786554688 3654137473 4440692161 8094829634 12535521795
58236916814]

近似スピードが稼げます。