😊出会いの泉😊

2を底とする二進対数log_{2}(x)をlb(x)で表すと、lb(3),lb(5),lb(7),lb(11),lb(13)の連分数展開は、

lb(3)=[1;1,1,2,2,3,1,5,2,23,...]
lb(5)=[2;3,9,2,2,4,6,2,1,1,3,1,18..]
lb(7)=[2;1,4,5,4,5,4,1,29,...]
lb(11)=[3;2,5,1,1,1,25,1,1,...]
lb(13)=[3;1,2,2,1,22,23,1,9,149,...]

で、lb(13)を[3;1,2,2,1,22,23,1,9]で近似すると、
[3;1,2,2,1,22,23,1,9]-lb(13)=201130/54353-lb(13)
=-2.25897731584196266637728075571*10^-12

となって、201130/54353をlb(13)の近似値とすると誤差が小さいので、lb(3),lb(5),lb(7),lb(11)を
54353倍すると、

54353*lb(3)=86147.4668016970019305550728204
54353*lb(5)=126203.757741412805693795471951
54353*lb(7)=152588.162078596956051793358299
54353*lb(11)=188030.486767793017766203979679

となって、小数部分に着目すると、

0.4668016970019305550728204=[0;2,7,33,...]
0.757741412805693795471951=[0;1,3,7,...]
0.162078596956051793358299=[0;6,5,1,...]
0.486767793017766203979679=[0;2,18,2,...]

なので、それぞれを、1/2=[0;2],3/4=[0;1,3],1/6={0;6],1/2=[0;2]で近似すると、

(86147+1/2)/54353-lb(3)=6.10790627896702020627740913203*10^-7
(126203+3/4)/54353-lb(5)=-1.42428436437616975547826382828*10^-7
(152588+1/6)/54353-lb(7)=8.44124466103963591405650940218*10^-8
(188030+1/2)/54353-lb(11)=2.43449432087167148461376935139*10^-7

となりました。(86147+1/2)/54353,(126203+3/4)/54353,(152588+1/6)/54353,(188030+1/2)/54353を連分数展開すると、

(86147+1/2)/54353=[1;1,1,2,2,3,1,5,2,2,1,2,1,12]
(126203+3/4)/54353=[2;3,9,2,2,4,4,1,1,6,1,1,2]
(152588+1/6)/54353=[2;1,4,5,4,5,5,1,4,1,1,2,3]
(188030+1/2)/54353=[3;2,5,1,1,1,25,1,4,1,1,4,2]
より、
lb(3)で[1;1,1,2,2,3,1,5,2,...]、
lb(5)で[2;3,9,2,2,4,...]、
lb(7)で[2;1,4,5,4,5,...]、
lb(11)で[3;2,5,1,1,1,25,1,...]
まで一致していて、lb(3),lb(5),lb(7),lb(11),lb(13)を分母が54353*12=652236の分数で比較的よく近似できそうです。