😊出会いの泉😊

整理すると
e+o+r+z=0
e+n+o=1
o+t+w=2
2e+h+r+t=3
f+o+r+u=4
e+f+i+v=5
i+s+x=6
2e+n+s+v=7
e+g+h+i+t=8
e+i+2n=9
e+n+t=10
3e+l+n+v=11
2e+l+t+v+w=12
それぞれの文字が含まれる方程式の数を数えて個数の昇順にすると
1個: g,u,x,z
2個: f,h,l,s,w
3個: r
4個: i,o,v
5個: n,t
10個: e
g,u,x,zは一度しか登場しないので
e+o+r+z=0
f+o+r+u=4
i+s+x=6
e+g+h+i+t=8
の4つは後回しで残りは
e+n+o=1
o+t+w=2
2e+h+r+t=3
e+f+i+v=5
2e+n+s+v=7
e+i+2n=9
e+n+t=10
3e+l+n+v=11
2e+l+t+v+w=12
残った方程式で再度個数を数えると
1個: f,h,r,s
2個: i,l,o,w
4個: t,v
5個: n
8個: e
f,h,r,sは一度しか登場しないので
2e+h+r+t=3
e+f+i+v=5
2e+n+s+v=7
の3つは後回しで残りは
e+n+o=1
o+t+w=2
e+i+2n=9
e+n+t=10
3e+l+n+v=11
2e+l+t+v+w=12
残った方程式で再度個数を数えると
1個: i
2個: l,o,v,w
3個: t
4個: n
5個: e
iは一度しか登場しないので
e+i+2n=9
は後回しで残りは
e+n+o=1
o+t+w=2
e+n+t=10
3e+l+n+v=11
2e+l+t+v+w=12
残った方程式で再度個数を数えると
2個: l,o,v,w
3個: n,t
4個: e
2の式から1の式を引いてoを消去
t+w-e-n=1
12の式からこの式を引いてwを消去
3e+l+n+v=11
これは11の式と同じなので残った式は
e+n+t=10
3e+l+n+v=11
nとtを固定して
e=10-n-t
11の式に代入してeを消去
l+v=2n+3t-19
後回しにした式にvは登場しlは登場しないのでvを固定して
l=2n+3t-v-19
12の式のeにe=10-n-tとl=2n+3t-v-19を代入してwを算出すると
w=11-2t
2の式にw=11-2tを代入してoを算出すると
o=t-9
9の式から
i=t-n-1
7の式から
s=2n+2t-n-v-13
5の式から
f=2n-v-4
3の式に未知数h,rが同時に登場するので登場回数の多いrを固定して
h=2n-r+t-17
後は最初に後回しにした4式から
z=n-r-1
u=v-2n-r-t+17
x=v-3t+20
g=r-2t+16
以上から
n,r,t,vは固定
e=10-n-t
f=2n-v-4
g=r-2t+16
h=2n-r+t-17
i=t-n-1
l=2n+3t-v-19
o=t-9
s=n+2t-v-13
u=v-2n-r-t+17
w=11-2t
x=v-3t+20
z=n-r-1
元の式に代入すると0～12が出てすべて正しいので、後は
条件(-11～11)を満たすようにn,r,t,vを定めればよいのだが、
解は多数ありそうなので適当な解一つだけにする。
絶対値が最小になるように適当に値を決めると
(e,f,g,h,i,l,n,o,r,s,t,u,v,w,x,z)=
(1,4,5,-3,0,4,4,-4,-1,1,5,5,0,1,5,4)
※o+t=9なので絶対値を4以下にするのは不可能

もし異なるアルファベットには異なる整数(-11～11も含む)という条件が加わると
どれほどの組合せの可能性が発生するもんですか？

その場合は3通りですね。
(e,f,g,h,i,l,n,o,r,s,t,u,v,w,x,z)=
(-2,-6,0,-7,7,9,2,1,4,3,10,5,6,-9,-4,-3),
(-1,-4,5,-11,6,8,2,0,7,3,9,1,4,-7,-3,-6),
(3,9,6,1,-4,0,5,-7,-6,-1,2,8,-3,7,11,10)
-10～10ならば1通りでした。

16個の変数で13個の方程式から通常では変数の中の3つを固定して(定数とみる。)
13変数の連立方程式として解こうとしていきたいが、これを行列Mを利用して
いくとき、正にその係数を基とする行列がmatdet(M)=0 となってしまい、
またmatrank(M)を調べたとき12を返されたのはこの事だったのですね。
でもどの2つの式から、既存の式が産み出せるのかわからなかった。
全ての流れを詳しく示して頂き目的の組合わせが3つも知れたのはラッキーでした。

追伸
この技をいろいろ試していたら
[ E, F, G, H, I, L, N, O, R, S, T, U, V, W, X, Z]=
1;[3/4, 15/4, 3, -11/4, 5/4, 6, 7/2, -13/4, -3/2, 11/4, 23/4, 5, -3/4, -1/2, 2, 4]
2;[9/4, 17/4, 3, -17/4, 7/4, 5, 5/2, -15/4, -5/2, 13/4, 21/4, 6, -13/4, 1/2, 1, 4]
などの分数による対応でも可能な組合せも生まれてきました。