素数探し
数Nが、N個だけ並んでいる最小の素数は
13、223，……
また、円周率に、9が７個並ぶものがあるそうですが、
任意のN個ならぶものがあるかどうかの証明なんてできる並んでのでしょうか？
3が3個並ぶ素数の最小値 3331
４が４個並ぶ素数の最小値 44449
3が3個並ぶ最小の素数は2333です。
5が5個並ぶ最小の素数 555557
6が6個並ぶ最小の素数 16666669
7が7個並ぶ最小の素数 137777777
8が8個並ぶ最小の素数 888888883
9が9個並ぶ最小の素数 1999999999
でしょうか。
さらに、
'10'が10個並ぶ最小の素数 1010101010101010101039
'11'が11個並ぶ最小の素数 11111111111111111111111
で、11111111111111111111111は1が23個並ぶレピュニット素数ですが、
11111111111111111111111の次に小さい「'11'が11個並ぶ」素数は
11111111111111111111117でした。
πで9が6個初めて並ぶのは762桁目からで、ファインマン・ポイントというそうです。
9が7，8，9個初めて並ぶ桁は、1722776桁目、36356642桁目、564665206桁目からだそうです。
2πだと7個の9が初めて並ぶのは761桁目からになります。
πで8が6個初めて並ぶのは222299桁目からで、8が7，8個初めて並ぶ桁は、4722613桁目、46663520桁目からだそうです。
https://www.angio.net/pi/bigpi.cgi
素数探しではなく正規数方面ですが。
https://glyc.dc.uba.ar/santiago/papers/absnor.pdf
1999999999 = 31×64516129
なので素数ではないですね。
10999999999
の書き間違いでしょうか。
(追記)
12～20について調べてみました。
12121212121212121212121223
1313131313131313131313131301
141414141414141414141414141497
15151515151515151515151515151501
1616161616161616161616161616161691
171717171717171717171717171717171737
118181818181818181818181818181818181881
1919191919191919191919191919191919191909
202020202020202020202020202020202020202093
ご指摘の通り9が9個続く最小の素数は1999999999はタイプミスで正しくは10999999999でした。
2進法～9進法でNがN個続く最小の素数を求めてみました。なお、11_(4)=5と11_(6)=7は1が2個続くので除きました。
10_(2)=2
10_(3)=3
122_(3)=17
13_(4)=7
221_(4)=41
1333_(4)=127
10_(5)=5
122_(5)=37
3332_(5)=467
14444_(5)=1249
15_(6)=11
225_(6)=89
23335_(6)=3371
44441_(6)=6217
155555_(6)=15551
10_(7)=7
221_(7)=113
2333_(7)=857
14444_(7)=4001
455555_(7)=81233
6666665_(7)=823541
13_(8)=11
225_(8)=149
3331_(8)=1753
244447_(8)=84263
655555_(8)=220013
16666663_(8)=3894707
67777777_(8)=14680063
12_(9)=11
122_(9)=101
3332_(9)=2459
34444_(9)=22963
255555_(9)=155003
26666661_(9)=13153159
47777777_(9)=23316973
1488888888_(9)=602654093
