切断面が、直角三角形
立方体を、平面で一回だけ切断するとき、切断面が直角三角形には、なりません。
どのような立体を、どのように切れば、一回の切断で、切断面を得ることができるでしょうか？但し、直角三角柱以外でお願いします。
直角三角柱だけ除くなら、例えば底面が直角三角形の三角錐であれば
底面と平行の面で切るだけで断面が直角三角形になりますね。
隣接面が直角に交わる箇所がない立体の場合は、
・ある頂点に集まる面が3面
・その3面のうちいずれかが、その頂点の角度が鈍角
であれば断面が直角三角形になるように切れますね。
例えば、正三角錐で底面の1辺の長さが5、他の3辺の長さが3のように平たい三角錐なら
側面が鈍角二等辺三角形なので上記の条件を満たし、直角三角形の断面が作れます。
逆にすべての隣接面が鋭角で交わっている場合は、直角三角形は作れないと思います。
また、隣接面が直角で交わる箇所があり鈍角で交わる箇所がない場合は、
直角三角形が作れる条件はそれほど簡単ではないと思います。
正五角柱以上の正多角柱でも断面が直角三角形になるように切れますね。
正四面体でも、うまく切断すれば、できるようですが、具体的に
どう切断すれば、よいでしょうか？
正四面体では無理と思い込んでいましたが、よく考えてみると作れますね。
正四面体OABCでOCを3：1に内分した点をD、ACを5：1に内分した点をEとすると
△BDEは∠BDEが直角の直角三角形になります。
座標で表すと、例えば
O(0,0,8√6), A(0,8√3,0), B(-12,-4√3,0), C(12,-4√3,0), D(9,-3√3,2√6), E(10,-2√3,0)
正三角柱で母線方向に直交する断面の正三角形を△ABCとして、一辺の長さをaとしたとき、Bから辺に沿ってa/√2の点をDとして、Cから辺に沿ってDとは反対方向にa/√2の点をEとすると、AD=AE=√(3/2)a,DE=√3aで、AD:AE:DE=1:1:√2となるので、△ADEは直角二等辺三角形になりますね。
有難うございます。
頂点A、B、Cを底面にして、正四面体を
OーABCとし、辺OA、OB、OC上に切断の点として長さa,b,cをとるとき、
（a,b,c）=(1,2,6)これを忘れていて、探していました。
x^2=a^2+b^2-ab:y^2=b^2+c^2-bc:z^2=c^2+a^2-ca
を解いて一つ、a=√２、b=√２±１，c=3√２±４
