😊出会いの泉😊

mod3のコラッツ擬きですが、
https://www.lab2.toho-u.ac.jp/sci/is/shirayanagi/lab/dl/2014/yamanaka.pdf
に

3n → 3で割る
3n+1 → 4倍して2を足す
3n+2 → 4倍して1を足す

というコラッツ擬きを考察したものがありました。上記のコラッツ擬きは、

1→6→2→9→3→1
7→30→10→42→14→57→19→78→26→105→35→141→47→189→63→21→7

という2種類のループのいずれかに到達しますが、
1～1000で
1を含むループに到達するのが79個で7.9%
7を含むループに到達するのが921個で92.1%
1～10000で
1を含むループに到達するのが4.2%
7を含むループに到達するのが95.8%
でした。

4倍だと1あるいは7に到達するのが早いので、

3n → 3で割る
3n+1 → 5倍して1を足す
3n+2 → 5倍して2を足す

としてみると、上記のコラッツ擬きは、1000000までで

4→21→7→36→12→4
8→42→14→72→24→8

という2種類のループのいずれかに到達しましたが、4あるいは8に到達するまでに、例えば初期値10の場合は4に到達するまでに43回の操作が必要で途中で最大値3186に達し、初期値38の場合は8に到達するまでに386回の操作が必要で途中で最大値12317562に達しました。100000までで最大値を更新した初期値と、その到達先、それに要した回数、途中で達した最大値は以下のようになりました。

10 4 43 3186
38 8 386 12317562
253 8 755 60008787
325 4 204 61921287
443 8 509 2792211912
550 4 2832 366801780869709687
1973 4 5101 68833498238053197854493312
13301 4 2815 99325854394514885320584021
16955 8 7959 724763997101386821051531936
20776 4 4265 2933570318473933999921361031139062
59113 4 7510 1470455996222092703757506943141135411
85925 4 13246 340816539304436064398165865804406618021466224558460882751162

4を含むループと8を含むループに到達する初期値の個数は、
1～1000で
4を含むループに到達するのが688個
8を含むループに到達するのが312個
1～10000で
4を含むループに到達するのが6417個
8を含むループに到達するのが3583個
1～100000で
4を含むループに到達するのが62273個
8を含むループに到達するのが37727個
1～1000000で
4を含むループに到達するのが615220個
8を含むループに到達するのが384780個
でした。

上記のコラッツ擬きを初期値が負数の場合に拡張すると-1←→-3というループが現れたので、

3n → 3で割る
3n+1 → 5倍して2を引く
3n+2 → 5倍して1を引く

としてみると、上記のコラッツ擬きは、1000000までで全て1←→3というループに到達しました。上記のコラッツ擬きでは、例えば初期値10の場合は1に到達するまでに88回の操作が必要で途中で最大値3564に達しました。100000までで最大値を更新した初期値と、それに要した回数、途中で達した最大値は以下のようになりました。

10 88 3564
25 116 10314
70 191 431604
82 201 124755588
140 707 18169045713
502 3077 3550975356647313
619 12254 570087155057912340205131104638425588
54847 12687 10089667480019633619334988145153010515029612088

さらに、ksさんのコラッツ擬きでは、

3n → 3で割る
3n+1 → 2倍して1を足す
3n+2 → 2倍して1を引く

だったので、

3n → 3で割る
3n+1 → 5倍して1を足す
3n+2 → 5倍して1を引く

としてみると、上記のコラッツ擬きは、1000000までで

1→6→2→9→3→1
4→21→7→36→12→4

という2種類のループのいずれかに到達しましたが、1あるいは4に到達するまでに、上記のコラッツ擬きでは、例えば初期値5の場合は1に到達するまでに95回の操作が必要で途中で最大値20934に達しました。100000までで最大値を更新した初期値と、その到達先、それに要した回数、途中で達した最大値は以下のようになりました。

5 1 95 20934
44 1 70 40986
86 1 810 3419283861
235 1 488 46196151066
820 1 1167 3841972080939
1310 4 1080 8170346115441
1315 1 7145 157854812287762612809
1790 1 3337 978623937310722214986
8645 1 4953 209921511803443804073439891
8770 1 6819 64901218184254749066376852519465177611
68455 1 5931 533522890015686639949625171648394237684

1を含むループと4を含むループに到達する初期値の個数は、
1～1000で
1を含むループに到達するのが901個
4を含むループに到達するのが99個
1～10000で
1を含むループに到達するのが8774個
4を含むループに到達するのが1226個
1～100000で
1を含むループに到達するのが87410個
4を含むループに到達するのが12590個
1～1000000で
1を含むループに到達するのが874580個
4を含むループに到達するのが125420個
でした。

コラッツ予想の操作を

2n　　→　2で割る
2n+1　→　3倍して、1を足し、2で割る

というショートカットした操作に変形し、さらに、

f(z)=(z/2)cos^2(πz/2)+((3z+1)/2)sin^2(πz/2)

と複素数に拡張した場合のコラッツ写像のジュリア集合をプロットしたものがWikipediaに載っています。

https://commons.wikimedia.org/wiki/File:CollatzFractal.png

コラッツ擬き

3n　　→　3で割る
3n+1　→　5倍して、2を引く
3n+2　→　5倍して、1を引く

についても、同様に

3n　　→　3で割る
3n+1　→　5倍して、2を引き、3で割る
3n+2　→　5倍して、1を引き、3で割る

というショートカットした操作に変形し、さらに、

f(z)=(z/3)g_0(z)+((5z-2)/3)g_1(z)+((5z-1)/3)g_2(z)

と複素数に拡張した場合のコラッツ写像のジュリア集合について考えてみました。
ただし、g_0(z)、g_1(z)、g_2(z)については、

g_0(z)=(1/2)cos(2πz/3)+(1/6)cos(4πz/3)+(1/3)
g_1(z)=g_0(z-1),g_2(z)=g_0(z-2)
こちらを参照。
http://kuiperbelt.la.coocan.jp/collatz/mod3-collatz.html#g

としました。ジュリア集合をプロットした結果はこちらを参照。
http://kuiperbelt.la.coocan.jp/collatz/mod3-collatz.html#julia