謹賀新年
あけましておめでとうございます。
本年もよろしくお願い致します。
問題。
25は平方数です。そして、
「25の正の平方根は5である」
という文に使われている数字を全て次の数字に変えると
「36の正の平方根は6である」
となり、これも正しい文になります。
さて、このような性質をもつ別の平方数を求めてください。
あけましておめでとうございます。
今年もよろしくお願いします。
R[n]=(10^n-1)/9 (repunit=1をn個並べた自然数) とする。
n桁の数の平方は2n桁または2n-1桁になるが、
(a+R[n])^2-a^2=2aR[n]+(R[n])^2＞R[2n-1] となるから
条件を満たすためには元の数は2n桁でなければならない。
(a+R[n])^2-a^2=R[2n] を解くと a=4R[n]+1 となるが
n≧3のとき4R[n]+1の平方の上から2桁目が9になり
「次の数字」が存在せず不適。
よって条件を満たすものは4R[1]+1=5, 4R[2]+1=45の二つ。
前者の平方の25は例示されているものだから、
答えは後者の平方の2025。
お見事です。
実は当初「√2025=25である」で出題しようとしていたのですが、その形だともう1つ解があることに気づいて慌てて記述を変更しました。
危なかった……。
書き間違い。
√2025=45ですね……。
