😊出会いの泉😊

(1)
296352=2^5×3^3×7^3
84=2^2×3×7
なので2^5を2^2と2^3、3^3を3と3^2、7^3を7と7^2に分けて
組み合わせればよい。よって解は4通りとなる。
2^2×3×7 と 2^3×3^2×7^2 → 84 と 3528
2^2×3×7^2 と 2^3×3^2×7 → 588 と 504
2^2×3^2×7 と 2^3×3×7^2 → 252 と 1176
2^2×3^2×7^2 と 2^3×3×7 → 1764 と 168
並べ替えて、2数の組合せは
(84,3528),(168,1764),(252,1176),(504,588)

(2)
3528=2^3×3^2×7^2
なので2数のどちらかに2^3、3^2、7^2が含まれている必要がある。
1092は2,3,7で割り切れ、2^2でも割り切れ、2^3,3^2,7^2では割り切れないので
他方の指数は自動的に2^2、3、7と決まる。
すなわち組合せは(1)と同じ4通りになるので、
(1)の中で2数の和が1092となる(504,588)が答え。

(1)
296352=2^5*3^3*7^3
で、2数をN,N'として、N=2^n1*3^n2*7^n3とすると、
N'=2^(5-n1)*3^(3-n2)*7^(3-n3)で、
NとN'の最大公約数が84=2^2*3*7なので、
min{n1,5-n1}=2,min{n2,3-n2}=1,min{n3,3-n3}=1
より、
n1=2,3
n2=1,2
n3=1,2
なので、2数N,N'の組み合わせは、
84と3528、588と504、252と1176、1764と168


(2)
3528=2^3*3^2*7^2
で、2数をM,Nとして、M=2^m1*3^m2*7^m3,N=2^n1*3^n2*7^n3とすると、
max{m1,n1}=3,max{m2,n2}=2,max{m3,n3}=2で、
1092 mod 4=0, 1092 mod 8≠0
1092 mod 3=0, 1092 mod 9≠0
1092 mod 7=0, 1092 mod 49≠0
なので、
m1,n1≧2,min{m1,n1}=2
m2,n2≧1,min{m2,n2}=1
m3,n3≧1,min{m3,n3}=1
より、
m1=2,n1=3とすると、
(m2,m3,n2,n3)=(1,1,2,2),(1,2,2,1),(2,1,1,2),(2,1,2,1)
また、M,N<1092より、M/4=3^m2*7^m3,N/8=3^n2*7^n3<273/2
なので、
M/4=63,147、すなわち(m2,m3)=(2,1),(1,2)
N/8=63、すなわち(n2,n3)=(2,1)
より、
(m2,m3,n2,n3)=(1,2,2,1)なので、(M,N)=(588,504),M+N=1092