複素数の底力
「円円Oに内接する四角形ABCDでAC⊥BDのとき、対角線の交点Ｐを通る線分ＬがＣＤと垂直のとき、ＬとＡＢとの交点ＭはＡＢの中点である。」
ブラマグプタの定理と円に内接してなくても似た定理が成り立つ。
「PA＝PD,PB＝PCのとき、四角形ABCDでAC⊥BDのとき、対角線の交点Ｐを通る線分ＬがＣＤと垂直のとき、ＬとＡＢとの交点ＭはＡＢの中点である。」
Pを原点とし、A（α）、B（β）とおくと、PA,PBを回転し、
C（βi）、D（-αi）、M（（α＋β）/2）と置くことができる。
CD方向は、（β＋α）iなので、PMは、CDの垂直である。
この結果を、使って、ABCDが円に内接する場合は、
PA,PBの直線上に、PA’＝PD,PB’＝PCとなるようにA’、B’をとれば、
A’、B’の中点M’とすれば、PM’は、CDと垂直になる。
一方、△PAB∽△PDCなので、PA／PD＝PB／PC
PA/PA’＝PB/PB’である。
△PAB∽△PA’B’ つまり、ABとA’B’平行であるので、
直線PM’は、ABの中点Mを通る。
