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p=2,3,5,...に対して、p(p-1)^2/2=1,6,40,...となりますが、ksさんが考えたQ_p(p=2,3,5,...)での既約な二次式というのはどのようなものでしょうか。p=2,3の場合だけでも例示していただけないでしょうか。

p進数体の二次拡大体は、2進数体Q_2については、Q_2(√2)、Q_2(√3)、Q_2(√6)、Q_2(√-1)、Q_2(√-2)、Q_2(√-3)、Q_2(√-6)の7つの二次拡大体があり、p進数体(p>2)Q_pについては、Q_p(√p)、Q_p(√n)、Q_p(√(np))の3つの二次拡大体があります。ただし、nはQ_pに平方根をもたない数です。

Q_2の二次式では、x^2-2,x^2-3,x^2-6,x^2+1,x^2+2,x^2+3,x^2+6が既約となりますが、α=2,3,6,-1,-2,-3,-6とすると、a,b∈Q_2,(x+a)^2-b^2*α=x^2+2ax+(a^2-b^2*α)も既約となります。
Q_p(p>2)の二次式では、x^2-p,x^2-n,x^2-npが既約となりますが、α=p,n,npとすると、a,b∈Q_p,(x+a)^2-b^2*α=x^2+2ax+(a^2-b^2*α)も既約となります。

Q_3では、2の平方根は存在しませんが、-2の平方根は存在し、3進法表記で
...01101021200010200211,
...21121201022212022012
が平方根となります。√-1=√2/(√-2)なので、Q_3(√-1)=Q_3(√2)となり、Q_3の3つの二次拡大体は、
Q_3(√3)、Q_3(√2)=Q_3(√-1)、Q_3(√6)=Q_3(√-3)となります。

Q_5では、2,3の平方根は存在しませんが、3/2の平方根は存在し、5進法表記で
...23333103203131132432,
...21111341241313312013
が平方根となります。√3=√2*√(3/2)なので、Q_5(√3)=Q_5(√2)となり、Q_5の3つの二次拡大体は、
Q_5(√5)、Q_5(√2)=Q_5(√3)、Q_5(√10)=Q_5(√15)となります。

Q_5には-1の平方根も存在して、5進法表記で
...40423140223032431212,
...04021304221412013233
が平方根となります。

p>2の素数として、Jacobi記号(a/p)を用いると、(a/p)=-1のときはaはpを法として平方非剰余で、(a/p)=1のときはaはpを法として平方剰余となります。

p=4n+3の素数のときは、平方剰余の第一補助法則
(-1/p)=(-1)^((p-1)/2)より(-1/p)=(-1)^(2n+1)=-1
となるので-1はpを法として平方非剰余となり、p=4n+3ときは、Q_pに-1の平方根が存在せず、3つの二次拡大体は、Q_p(√p)、Q_p(√-1)、Q_p(√-p)となります。このような素数は、p=3,7,11,19,...などがあります。
これに対して、p=4n+1(p=5,13,17,...)のときはQ_pに-1の平方根が存在します。

p=8n+3,8n+5(=8n-3)の素数のときは、平方剰余の第二補助法則
(2/p)=(-1)^((p^2-1)/8)より(2/p)=(-1)^(8n^2±6n+1)=-1
となるので2はpを法として平方非剰余となり、
p=8n+3の素数はp=4n+3の素数でもあるので、Q_pに-1の平方根が存在しませんが、p=8n+5の素数はp=4n+1の素数でもあるので、Q_pに-1の平方根が存在するかわりに2の平方根が存在せず、3つの二次拡大体は、Q_p(√p)、Q_p(√2)、Q_p(√(2p))となります。このような素数は、p=5,13,29,...などがあります。
これに対して、p=8n+1(p=17,41,...)のときはQ_pに-1と2の平方根が存在します。

平方剰余の相互法則
(p/q)(q/p)=(-1)^((p-1)/2*(q-1)/2)
より、q=3とすると、
(p/3)(3/p)=(-1)^((p-1)/2)
で、p=8n+1のときは(p/3)(3/p)=1ですが、p=3m+2のときは(p/3)=-1なので、(3/p)=-1で3はpを法として平方非剰余となります。p=8n+1かつp=3m+2となるのはp mod 24=17のとき(p=17,41,89,...)で、この場合は、3つの二次拡大体は、Q_p(√p)、Q_p(√3)、Q_p(√(3p))となります。
これに対して、(p/3)=1となるp=3m+1のときは、p=8n+1かつp=3m+1であってp mod 24=1(p=73,97,...)であり、このときはQ_pに-1と2と3の平方根が存在します。

Q_17では、-1と2の平方根が存在して、A=10,B=11,C=12,D=13,E=14,F=15,G=16とした17進法表記を用いると、
-1の平方根は、
...5E81F0160E3D8CGC5A24,
...B28F1GFAG2D38404B6ED
2の平方根は
...2A2E9AB511E922CB822B,
...E6E2765BFF27EE458EE6
とそれぞれ表されます。

有難うございます。
P=2のときの、既約な二次式
x^2+x+1
P=3のときの、既約な二次式
x^2+1,2x^2+2,…など

ksさんの考えでは、p=2でx^2+1とかx^2-2は既約にならないのでしょうか。
p=3で2x^2+2=2(x^2+1)ですが・・・p=3の他の4種類(5種類?)の既約二次多項式はどのようなものでしょうか？

P=3のときの、残りの４個は
x^2+x+2,2x^2+2x+1,x^2+2x+2,2x^2+x+1
素数P進法の二次式の個数は（ｐ－1）ｐ＾２で
そのうち、可約な個数は、ｐ（ｐ＋1）（ｐ－1）／2
既約な個数　ｐ（ｐ－1）＾2／2

有限体GF(p)上でx^2の係数が1の既約多項式は、
p=2で
x^2+x+1の1個
p=3で
x^2+1,x^2+x+2,x^2+2x+2の3個
p=5で
x^2+2,x^2+3,x^2+x+1,x^2+x+2,x^2+2x+3,^2+2x+4,x^2+3x+3,x^2+3x+4,x^2+4x+1,x^2+4x+2
の10個なので、有限体GF(p)上での既約多項式の総数は、p=2,3,5でたしかに1,6,40となりますね。
ksさんが言っていたP進数体というのは有限体のことだったのですね。