3-adica
グレッグ・イーガン(Greg Egan)の未翻訳の短編SFで"3-adica"という短編があります。"3-adica"は「ビットプレイヤー」の続編で、「ビットプレイヤー」の主人公が、距離が非アルキメデス付値である3-進付値で測られる世界を表現した仮想現実世界に迷い込んだ話のようです。以前はオンラインで読むことができましたが、今はWebarchiveでしか読めません。
https://web.archive.org/web/20190210180159/https://www.asimovs.com/assets/1/6/3-adica_Egan.pdf
3-進数体についてはイーガン氏が解説していたブログがありましたが、こちらも、今はWebarchiveでしか読めません。
https://web.archive.org/web/20190711055910/https://fromearthtothestars.com/2018/09/05/inside-3-adica/
3進法で表すと4,13,40,121,...は、
4=11
13=111
40=1111
121=11111
...
で、3-進数体では、0と1の距離は1ですが、1と4の距離が1/3、4と13の距離が1/9、13と40の距離が1/27、40と121の距離が1/81...となります。
実数の世界では例えば10進法表記で1/3が
1/3=0.33333...
と表されるように小数点以下に無限に数が続く無限小数が存在しますが、3-進数体では無限に桁数の大きい数が存在して、
...11111
という数も存在します。この数をxとすると、
2x=...22222
2x+1=...00000=0
なので、x=-1/2となります。0,1,4,13,40,121,...という数列は-1/2に近づいていくことになります。
3-進数体の分数で1/3は0.1と表されますが、-1/6は-1/2=...11111を用いて
-1/6=...11111.1
と小数を用いて表されます。
3-進数体の整数は
......0, ......1, ......2
のいずれかの形で表されますが、これらを2乗したものは、
......0, ......1
のいずれかになって2となることはなく、3-進数体の小数は2乗しても実数の世界と同様に小数なので、2の平方根は存在しません。
3-進数体では、
-1=...22222
-2=...22221
なので、-1の平方根も存在しませんが、-2の平方根は存在して、
...1200010200211
...1022212022012
と表されます。実数の世界で平方根に正負の2種類があるように、3-進数体でも平方根は2種類あります。
3-進数体では、2の平方根は存在しませんが、7の平方根は存在して、イーガン氏のブログにあるように
...222021120020111
と表されるものと、
...000201102202112
と表されるものがあります。
p-進数体で7の平方根が存在して2の平方根が存在しない体は、p=3の次はp=19の19-進数体があります。
19-進数体では7の平方根は、10進法表記の10～18をA～Iで表すと、19進法表記で
...B6HE12AD718
...7C14HG85BHB
と表されます。
